高中数学人教A版第三章概率几何概型 全市获奖

学业分层测评(二十)几何概型(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.【答案】A2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(3,4)【解析】记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).【答案】A3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A． B．C． D．【解析】设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为eq\f(2,400)＝.【答案】D4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)【解析】如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq\f(S,4)”等价于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面积大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).【答案】C5．如图3­3­3，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()图3­3­3A．1－eq\f(2,π) \f(1,2)－eq\f(1,π)\f(2,π) \f(1,π)【解析】设OA＝OB＝r，则两个以eq\f(r,2)为半径的半圆的公共部分面积为2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)))＝eq\f(π－2r2,8)，两个半圆外部的阴影部分面积为eq\f(1,4)πr2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)×2－\f(π－2r2,8)))＝eq\f(π－2r2,8)，所以所求概率为eq\f(2×\f(π－2r2,8),\f(1,4)πr2)＝1－eq\f(2,π).【答案】A二、填空题6．如图3­3­4，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________.图3­3­4【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．如图3­3­5，长方体ABCD­A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD图3­3­5【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A­A1BD内运动的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16).记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．【解】如图，四边形ABCD是长30m、宽20m的长方形．图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根据几何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[能力提升]1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝eq\f(△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq\f(1,2).【答案】B2．假设你在如图3­3­6所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．图3­3­6【解析】设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝eq\f(S△ABC,S圆)，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝eq\r(2)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).【答案】eq\f(1,π)3．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图3­3­7所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．图3­3­7乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).∴在甲商场中奖的概率为P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，