L5 晶体学基础与张量基础

1第五讲：晶体学基础与张量基础光电功能材料陆延青、胡伟南京大学现代工程与应用科学学院2参考书籍主要参考：《晶体物理性质与检测》，陈春荣等，北京理工大学出版社（简明扼要，有电子版）进阶读物：《晶体物理学基础》，陈纲等，科学出版社（较详尽）3常见物态d.液晶e.等离子体（电浆）4晶体的种类与键合◆金属晶体◆离子晶体◆分子晶体◆原子晶体◆混合晶体◆小结晶体类型金属晶体离子晶体原子晶体分子晶体导电性良导体水溶液或熔体易导电绝缘体或半导体绝缘体实例Na,Al,Fe,Cu等金属单质与合金NaCl,CaO,MgO,Na2So4KBr,方解石金刚石，Si,Ge,SiC,SiO2,立方BNCO2,CH4,I2,H2O,萘，尿素，O2应用金属和合金耐火材料，电解质，晶体功能材料高硬材料，半导体材料低温材料事实上，在所有的晶态物质中，典型的金属键，离子键和共价键是很少见的，大多数晶态物质中的化学键都是两种键型的混杂情况，这不但影响到晶体的物理性质，而且影响到晶体的结构，因此，实际情况往往要比上述讨论复杂得多，但掌握了上述基本原理和基本知识，就等于掌握了晶体学进门的钥匙。51：离子键大多数盐类、碱类和金属氧化物主要以离子键的方式结合。离子键键合的基本特点是以离子而不是以原子为结合单元。一般离子晶体中正负离子静电引力较强，结合牢固。因此。其熔点和硬度均较高。另外，在离子晶体中很难产生自由运动的电子，因此，它们都是良好的电绝缘体。但当处在高温熔融状态时，正负离子在外电场作用下可以自由运动，即呈现离子导电性。离子键62:共价键共价键的实质就是两个或多个电负性相差不大的原子间通过共用电子对而形成的化学键。共价键键合的基本特点是核外电子云达到最大的重叠，形成“共用电子对”，有确定的方位，且配位数较小。

共价键的结合极为牢固，故共价晶体具有结构稳定、熔点高、质硬脆等特点。共价形成的材料一般是绝缘体，其导电性能差。共价键73：金属键金属中的自由电子和金属正离子相互作用所构成键合称为金属键。金属键的基本特点是电子的共有化。既无饱和性又无方向性，因而每个原子有可能同更多的原子相结合，并趋于形成低能量的密堆结构。当金属受力变形而改变原子之间的相互位置时，不至于使金属键破坏，这就使金属具有良好延展性，并且，由于自由电子的存在，金属一般都具有良好的导电和导热性能。金属键84：范德华键

属物理键，系一种次价键，没有方向性和饱和性。比化学键的键能少1～2个数量级。主要由静电力、诱导力和色散力组成。5：氢键它是由氢原子同时与两个电负性很大而原子半径较小的原子（Ｏ，Ｆ，Ｎ等）相结合而产生的具有比一般次价键大的键力，具有饱和性和方向性。氢键在高分子材料中特别重要。范德华键与氢键9晶体的外观KTP10晶体晶体是质点（原子、分子或离子）以周期性重复方式在三维空间作有规律排列的固体。晶体与非晶体的区别：a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列。b.熔化时：晶体具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围。c.性能：晶体具有各向异性,非晶体呈各向同性。

单晶体与多晶体1.单晶体质点按同一取向排列。由一个核心（称为晶核）生长而成的晶体2.多晶体通常由许多不同位向的小晶体(晶粒）所组成。3.晶粒与晶粒之间的界面称为晶界4.多晶体材料一般显示出各向同性——假等向性

11晶体与玻璃（如石英晶体与石英玻璃）12晶体的点阵结构图晶体结构，a)晶体b)晶格c)晶胞13空间点阵空间点阵是在三维空间按周期性排列的几何点。简称点阵。

空间点阵可任意选择三个不共面的基矢进行划分，由于基矢不同，可以划分出不同的多种形式的平行六面体，但基本上只属于两种：一种是每一平行六面体中只有在顶角处有阵点，每个平行六面体中只包含一个阵点。换句话说，一个阵点被八个平行六面体所瓜分，而一个平行六面体的八个角上各有1/8个阵点，合起来相当于一个阵点。这样的平行六面体称为素单位。另一种是每个平行六面体中包含两个或两个以上的阵点，即除顶角处有阵点外，在其它位置上也有阵点，称这样的平行六面体为复单位。下图给出了平面点阵和空间点阵的素单位及复单位。14晶体构造的最小体积单位叫晶胞，它能反映晶体内部质点排列的周期性和对称性。同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞。空间点阵和晶胞选取晶胞的原则：

1)选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性；2）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；3）当平行六面体的棱角存在直角时，直角的数目应最多4）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。点阵参数：晶轴，三个棱边a，b，c晶轴夹角：α，β，γ15七大晶系14种布拉菲（Bravais）格子

七大晶系根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。14种布拉菲（Bravais）格子

根据平行六面体划分原则，布拉菲导出14种空间格子，这14种空间格子就称为布拉维格子。可分为4种类型。

（1）原始格子（P）又称简单格子，结点分布在平行六面体的几个角顶，每个晶系都有一个原始格子。

（2）底心格子（C）

结点分布在平行六面体的角顶和一对平面的中心。

（3）体心格子（Ⅰ）

结点分布在平行六面体的角顶和平行六面体的中心。

（4）面心格子（F）

结点分布在平行六面体的角顶和平行六面体中每个面的中心。

16七大晶系14种布拉菲（Bravais）格子17

根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。布拉菲（BravaisA．）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，称布拉菲格子。

晶系

布拉菲点阵晶系布拉菲点阵三斜简单三斜六方简单六方单斜简单单斜

底心单斜三方（菱方）简单三方正交简单正交底心正交

体心正交

面心正交四方简单四方体心四方立方简单立方体心立方面心立方七大晶系14种布拉菲（Bravais）格子18点坐标、晶向指数、晶面指数如前所述，在确定了晶胞之后，就等于在晶体结构中或在空间点阵中建立起一个坐标系。那么，点阵中每一个阵点都可用一定的指标来标记它们的确切位置。如选择某一阵点作为该坐标系的原点，则任一阵点的位移矢量是

则就是该阵点的坐标，在晶体学中通常用双方括号来表示，即。下图给出了阵点[[231]]及相应的矢量R。

阵点[[231]]在阵点中的位置NaCl晶体结构●Na○Cl19点坐标、晶向指数、晶面指数晶面指数和晶向指数在晶体内部构造中，由物质质点所组成的平面成称为晶面；穿过物质质点所组成的直线方向称为晶向。晶向指数求法：晶向指数求法：1）

确定坐标系2）

过坐标原点，作直线与待求晶向平行；3）

在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z）；4）

将此值化成最小整数u，v，w并加以方括号[uvw]即是。晶面指数求法：晶面指数求法：1）

在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标轴x，y，z；2）

以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距；3）

取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（hkl）即是。20点坐标、晶向指数、晶面指数晶向指数晶面指数立方晶体中的几个晶向和晶面21晶体的基本性质晶体的各向异性空间点阵的对称22晶体的对称性：晶体的宏观对称要素对称中心C：若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心对称面P：晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面。旋转对称轴Ln：当晶体绕某一轴旋转而能完全复原时，此轴即为旋转对称轴。注意该轴线定要通过晶格单元的几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。在回转一周的过程中，晶体能复原n次，就称为n次对称轴。旋转-倒反轴Lni：若晶体绕某一轴旋转一定角度,再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为旋转－倒反轴。23旋转-倒反轴24旋转-倒反轴25晶体的宏观对称要素26晶体的宏观对称要素（续）27从主要的对称性来看七大晶系立方晶系有四个３次轴四方晶系唯一的高次轴为４次轴或４次反轴六方晶系唯一的高次轴为６次轴或６次反轴三方晶系唯一的高次轴为３次轴和３次反轴单斜晶系二次轴或反映面等于１正交晶系二次轴或反映面大于１三斜晶系只有１次轴28从主要的对称性来看七大晶系二、根据晶体中高次轴的数目，晶体分为三个晶族：１、具有四个三次轴的立方晶系为高级晶族。２、只有一个高次轴的晶体属于中级晶族。四次晶系，三方晶系，六方晶系均属于中级晶族。３、无高次轴的晶体为低级晶族。三斜晶系，单斜晶系，正交晶系属于低级晶族。29晶体的点群晶体的分类在晶体中，可以只存在一个对称要素，也可有若干个对称要素组合在一起共同存在。不同类型的晶体，其对称要素的数目和组合情况各不相同。根据对称情况，把对称型相同的所有晶体归于一类，叫做晶类。在晶体中共有32种对称型，也就有32个晶类。由于每个晶类中的所有对称要素至少交于一点，所以把这些共点的宏观对称要素的集合所构成的对称群称为点群，32个晶类对应于32种点群。30极射赤面投影图晶体的球面投影极射赤平投影31对称要素的空间分布3232个点群的极射赤面投影图P1433晶体学坐标系P15－16根据结晶学理论，晶体的晶轴必须符合晶体空间点阵规律和对称性，因此，总是选择点阵中的行列方向作为晶轴，就是以晶体的自然坐标系为晶体学坐标系，坐标轴用a,b,c或X,Y,Z来表示。四方晶系KDP（）晶体的晶系立方晶系m3m点群的晶轴(a)立方体(b)八面体34晶体物理学坐标系P17－18在对晶体的物理性质进行描述时，采用上述借助于晶体本身的自然坐标系有时不够方便，所以从事晶体物理工作的人们另行规定了一套坐标系，这是一套直角坐标系，坐标轴用x1,x2,x3表示，三个轴的单位长度相等，且满足右手螺旋法则。由于这套坐标系是为了便于描述以矩阵形式表示的各类晶体的物理性质，因此称之为晶体物理学坐标系。35形象的总结P14，图1－1932种点群的极射赤面投影图晶体学坐标系与晶体物理学坐标系的选取均标于图中36张量基础Chapter2，P20－3337材料性能的种类

按照对外场的响应分为物理性能结构敏感和结构不敏感稳态的和非稳态的平衡的和非平衡的物理、化学、力学电学（对电场）：电导率、介电常数磁学（磁场）：磁导率、矫顽场热学（热场）：热导率、热膨胀、热容声学（弹性波）：传播速率光学（电磁场）：折射率、光吸收38材料性能的抽象表示描述宏观物理性质的物理量是由宏观可测量的物理量之间的关系来定义，如电极化率是由施加在材料上的电场强度Ｅ和由此感生的电极化强度Ｐ这两个可测量的关系：来定义。一般而言，某物理量Ｃ用这样的公式来定义。其中，Ａ称为作用物理量，它代表施加于材料上的各种作用，如上述的电场强度Ｅ；Ｂ称为感生物理量，是该材料受Ａ作用而产生的物理量，如受电场作用而产生的电极化强度Ｐ；Ｃ则联系着Ａ与Ｂ之间的关系，代表了材料本身的特性，即材料的某种物理量，属物质量。而Ａ和Ｂ并不代表材料的本身性质，都是可测量的物理量，属场量。一般是通过测量Ａ和Ｂ。用（２）式确定材料的物理量Ｃ。无论是场量还是物质量都可以是张量。（１）（２）39标量、矢量和二阶张量☆

标量：与方向无关，如密度、质量、温度等；☆

矢量：既有大小又有方向，如力、速度、电场强度等；☆

二阶张量：例——欧姆定律

——各向同性：

——各向异性：40二阶张量的表示爱因斯坦求和规则：下标表示法下标表示必须成对出现ｉ为自由下标，ｊ为下标41坐标变换★

坐标轴变换★

矢量变换注：此处P与P*均为行向量42矢量变换法则43二阶张量的变换若有：令：则：若有：令：则：44高阶张量的变换二阶张量三阶张量四阶张量45张量的性质★

张量的定义

——张量是与坐标系有联系的一组量，并满足一定的坐标变换规律。★

张量的性质

——任何两个张量相乘所得到新张量的阶数等于原张量阶数之和；

——两个张量间的比例系数一般是一个张量，其阶数等于原张量阶数之和；

——张量的变换规律与坐标乘积的变换规律相同；

——变换矩阵与二阶张量的区别46二阶对称张量★对称张量：——对称张量有6个对立分量——简约表示：11→1、22→2、33→3、23→4、13→5、12→6★反对称张量：——反对称张量有3个对立分量——简约表示：23→α、13→β、12→-γ47二阶对称张量的示性二次曲面二次曲面方程★★坐标变换将（2）带入（1）中左式，得：（1）（2）所以：—二次曲面方程系数与张量分量具有相同的变换规律；—二次曲面方程称为张量S示性曲面；—示性二次曲面可描述具有二阶对称张量性质的物理特性48示性二次曲面的主轴★二次曲面的主轴方程★二次曲面★示性二次曲面的性质—S1>0、S2>0、S3>0:椭球面—S1、S2、S3其中之一<0:单叶双曲面—S1、S2、S3其中之一>0:双叶双曲面—

示性二次曲面上的任意一条径矢长度r等于张量S在该径矢方向上的量值平方根的倒数。