统计学基础知识之数据离散程度描述

统计学基础知识之数据离散程度描述统计学基础知识之数据离散程度描述离散程度指标的种类很多，下面介绍的是常用的几种。全距(Range)又称极差，是指数据中最大值和最小值的差值。如果用R表示全距，用Xmax,Xmin，分别表示数据的最大值、最小值,则全距公式为：R二Xmax-Xmin。例如，前面提到的两组数据中，第一组数据的全距R=21-19=2，第二组数据的全距R=25-15=10。通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。由此，我们可以记住一个一般性结论：离散指标的数据越小，说明数据的变异程度就越小;数值越大，则说明数据的.变异程度越大。当然，这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。全距指标的应用问题全距指标的含义容易理解，计算也很简便。因此，在某些场合具有特殊的用途。例如，要说明一个地区的温度情况，没有比用温差说明更好的指标了。在描述一种股票的波动情况时，最高价和最低价的差是常使用的特征值。另外，在成品质量控制方法中，R控制图也是全距的一种应用。但是，全距在计算上只与两个极端值有关因此它不能反应其他数据的分散情况，就这一点来说，全距只是一个比较粗糙的测度指标。如果需要全面、精确地说明数据离散程度时，就不宜使用全距。平均差(MeanAbsoluteDeviation)就是各项数值与其均值之差绝对值之和的平均数。用MAD表示平均差，其公式为：所谓离散，是个相对概念，需要用一个标准来衡量。因为均值是最重要也是最常用的指标，所以就成为衡量离散程度的一个常用标准。方法就是用各项数据与与均值相减，通常将这个差值称为离差(Deviation)。离差数值的大小就可以说明数据的偏离程度。但是，可以证明因为相对于均值的正、负偏差之和是相等的。为了解决离差正、负值抵消的问题，统计学家使用了绝对值的方法，如平均差，更多使用的是平方的方法，如方差，然后再用平均的方法，消除掉由于数据项数多少给离差值带来的影响，即从指标的含义来看，平均差的数值代表了所有数据离均值的平均距离，使用该数据说明数据的离散程度，比较容易理解。平均差的应用问题虽然平均差简单易懂，但因为使用了绝对值，不便于进一步计算所以在实际应用中不如其他离散指标应用那样广泛。但在预测领域还常常使用该指标用于误差的说明。方差(Variance)就是全部数据离差平方的平均数。总体方差表示,计算公式为：方差克服了平均差绝对值的问题，成为描述离散程度的一个重要指标。但是，在方差数值含义的解释上却遇到困难。因为方差的单位是数据单位的平方，夸大了数据的离散程度，使人不易直观理解数值意义。因此，通常取方差的算数平方根作为描述离散程度的指标，即标准差(StandardDeviation)。总体标准差的公式表示如下：如果用上面的数据计算，对于这个数据，我们就很容易理解它的含义了。=方差、标准差的应用问题总体方差表示，总体标准差用表示，而样本方差用S2表示，样本标准差用S表示，不能混淆样本方差与标准差的计算公式如下：可以看到，样本方差及标准差与总体方差和标准差的计算公式略有不同。样本方差和标准差的分母是n-1而不是n。因为样本的方差和标准差在使用中，经常作为总体方差和标准差的估计量，分母除以n-1而不是n，可以得到总体方差和标准差的较好的估计量。离散系数(CoefficientOfVariation)就是标准差与均值的比值。一般用V表示。总体的离散系数表示：样本的离散系数表示为离散系数的应用问题离散系数实质上是标准差相对于均值的大小。因此，如果比较均值不相同的两组数据相对离散程度时，使用离散系数，要比使用标准差更准确。例如，假定有甲、乙两个工人，甲平均每小时生产40个零件，标准差是5件。乙平均每小时生产80个零件，标准差为6件。那么那个工人的稳定性比较好呢?根据标准差的定义，标准差越小，离散性就越小，所以甲生产要比乙稳定。但是，我们看到乙的标准差虽然比甲略高，但其生产的能力确实甲的2倍(80/40)。也就是说，6相对于80的变化要小于5相对于40的变化，这个含义就是离散系数。计算过程如下：由此可见，乙的离散系数小于甲，所以乙的生产要比甲相对稳定离散系数是个无名数，这是它与其他离散指标的最大区别。全距、平均差还有标准差，它们都是有名数，其单位与原始数据的单位一致。离散系数的这一特点使其不仅可以说明同类事物的相对离散程度，还可以说明不同类