GIS原理与方法201112-9数字高程模型

中国地质大学江城学院地理信息系统原理中国地质大学江城学院GIS原理与方法1绪论2空间数据结构3

地理信息系统的地理数学基础4地理信息系统的数据输入5地理信息系统的数据处理6空间数据管理8空间分析9数字高程模型12GIS输出与数字地图13地理信息系统工程14地理信息系统的发展趋势

中国地质大学江城学院9数字高程模型9.1数字高程模型概念9.2DEM数据分布特征9.3DEM的表示方法9.4TIN的生成方法9.5规则矩形格网的生成9.6DEM的数据源和采样方法9.7DEM的应用9.8DEM分析的误差与精度中国地质大学江城学院9.１数字高模型概念数字高程模型（DigitalElevationModel），简称DEM，是以数字的形式按一定结构组织在一起，表示实际地形特征空间分布的数字模型，也是地形形状大小和起伏的数字描述。DEM的核心是地形表面特征点的三维坐标数据和一套对地表提供连续描述的算法，最基本的DEM是由一系列地面点x，y位置及其相联系的高程Z所组成，用数学函数式的表达是：Z=f(x，y)，(x，y)∈DEM所在的区域。尽管DEM是为了模拟地面起伏而发展起来的，但也可以用来模拟其他二维表面上连续变化的特征，比如说还可以表示地面景观的属性，地面温度、降水、地球磁力、重力、土地利用、土壤类型等其它地面特性信息，此时的DEM也称为数字地形模型(DigitalTerrainModels)，简称DTM。关于DTM和DEM的含义，无论在国外或国内文献中都存在着不同的理解，DTM包含着地面起伏和属性两个含义，所以DEM和DTM是有区别的。

中国地质大学江城学院9.２DEM数据分布特征9.2.1格网数据9.2.2离散数据

中国地质大学江城学院9.2.1格网数据把DEM覆盖区划分成为规则格网，每个网格大小和形状都相同，用相应矩阵元素的行列号来实现网格点的二维地理空间定位，第三维为特性值，可以是高程和属性。对于规则网来说，仅用z的矩阵数据来描述地理场，其对应的平面坐标位置数据蕴含在向量序列关系之中，n个数据观测点的数据记录个数也为n，用公式表示如下：

DEM={zij}中国地质大学江城学院9.2.2离散数据离散数据DEM的平面二维地理空间定位由不规则分布的离散样点平面坐标实现，第三维仍为高程和属性特性值。每个离散数据的记录必须使用三项数据，分别记录其坐标值x，y和特性值z，这样，n个离散数据点的数据记录个数为3n个。例如人工地震勘探则通常布设多条测线读取有关地层结构的数据（图9-2-1b）；航磁一般沿测线观测，沿测线的测点密度远大于测线间隔的密度，并且测线也并不是等间距的直线（图9-2-1c）；分散流数据常按一定的采样密度沿水系随机采样（图9-2-1d）；更多的数据，如气象、水文以及其它地理抽样调查等呈不规则分布（图9-2-1e）。中国地质大学江城学院9.3DEM的表示方法中国地质大学江城学院9.3.1不规则三角网

不规则三角网（TIN）是由Peuker和他的同事（1978）设计的一个系统，它是由不规则分布的数据点连成的三角网组成，三角面的形状和大小取决于不规则分布的观测点或称结点的密度和位置。中国地质大学江城学院1.TIN数据结构包括点数据结构，边数据结构和三角形数据结构。

中国地质大学江城学院2.狄洛尼(Delaunay)三角网狄洛尼(Delaunay)三角网由俄国数学家B.Delaunay于1934年提出。对于TIN模型，其基本要求有三点：(a)唯一性：TIN是唯一的；(b)最大最小角特性：三角形的最小内角尽量最大，力求最佳的三角形几何形状，每个三角形尽量接近等边形状；(c)空圆特性：保证最邻近的点构成三角形，即三角形的边长之和尽量最小，且三角形的外接圆中不包含其它三角形顶点。中国地质大学江城学院3.

Voronoi图及泰森多边形

Voronoi图又称为Dirichlet镶嵌(tessellation)，其概念由Dirichlet

于1850年首先提出;1907后俄国数学家Voronoi

对此作了进一步阐述。设P={p1，p2，⋯，pn}<R2是二维欧式空间上的点集，d(·，·)为欧式距离。称V(pi)={p∈R2|d(p，pi)≤d(p，pj)，i，j=1，2，⋯，n，i≠j}为Voronoi区域。简单地说，Voronoi

图是平面的一个划分，其控制点集P中任意两点都不共位，且任意四点不共圆，任意一个内点到该凸多边形的控制点pi的距离都小于该点到其他任何控制点pj

的距离。

中国地质大学江城学院构建TIN平面点集的Voronoi图（1）首先构建离散平面点集的D-TIN；（2）然后求各三角形的外接圆；（3）对每个离散点，按顺时针方向连接与其关联的三角形的外接圆心，即得到该离散点的Voronoi图；（4）将各离散点的Voronoi图形成集合，即得到平面点集的Voronoi图。

中国地质大学江城学院Voronoi图的特性:(a)每个Voronoi

区域内仅含一个离散点数据；(b)每个Voronoi

区域内的点到相应离散点的距离最近；(c)位于Voronoi

区域边上的点到其两边的离散点的距离相等。Delaunay三角网与Voronoi图的对偶关系。

中国地质大学江城学院4.不规则三角网特征*不规则三角网由连续的三角面组成，三角面的形状和大小取决于不规则分布的观测点(或称为节点)的密度和位置。*不规则三角网能随地形起伏变化的复杂性改变采样点的密度和采样点的位置。*不规则三角网方法能按照地形特征点,如山脊线、山谷线、地形变化线等获得DEM数据，并达到精度要求。*在不规则三角网方法中，建立三角形之间的拓扑关系，并与属性数据联结起来。

因为TIN可根据地形的复杂程度来确定采样点的密度和位置，能充分表示地形特征点和线，从而减少了地形较平坦地区的数据冗余。中国地质大学江城学院9.3.2高程格网（GRID）规则格网，通常是正方形，也可以是矩形、三角形等规则格网。规则格网将区域空间切分为规则的格网单元，每个格网单元对应一个数值。数学上可以表示为一个矩阵，在计算机实现中则是一个二维数组。每个格网单元或数组的一个元素，对应一个高程值。中国地质大学江城学院

DEM最普通的形式是高程格网（GRID）或规则矩形格网，其生成可有三种方法：高程数据直接由解析立体测图仪从立体航片上定量测量（Kelly等1977）。高程格网也可由规则或不规则离散数据点内插产生。等高线内插生成高程矩阵（格拉茨地面模型）中国地质大学江城学院立体像对分析资料来源于张超主编的《地理信息系统教程》所配光盘中国地质大学江城学院等值线插值法

资料来源于张超主编的《地理信息系统教程》所配光盘中国地质大学江城学院

结构简单，计算机对矩阵的处理比较方便，高程矩阵已成为DEM最通用的形式。高程矩阵特别有利于各种应用。

但Grid系统也有下列缺点：

a)地形简单的地区存在大量冗余数据；

b)如不改变格网大小,则无法适用于起伏程度不同的地区；

c)对于某些特殊计算如视线计算时，格网的轴线方向被夸大；

d)由于栅格过于粗略，不能精确表示地形的关键特征,如山峰、洼坑、山脊等。中国地质大学江城学院9.4TIN生成Delaunay三角网构网算法可归纳为两大类，即静态三角网和动态三角网。静态三角网指的是在整个建网过程中，已建好的三角网不会因新增点参与构网而发生改变；而对于动态三角网则相反，在构网时，当一个点被选中参与构网时，原有的三角网被重构以满足Delaunay外切圆规则。中国地质大学江城学院递归生长算法的基本过程：①在所有数据中取任意一点1(一般从几何中心附近开始)，查找距离此点最近的点2，相连后作为初始基线1-2；②在初始基线右边应用Delaunay法则搜寻第三点3，形成第一个Delaunay三角形；③并以此三角形的两条新边(2-3，3-1)作为新的初始基线；④重复步骤②和③直至所有数据点处理完毕。中国地质大学江城学院2.数据逐点插入法数据逐点插入法是一种典型的动态三角网生长算法。三角网生长算法最大的问题是计算的时间复杂性，其原因是由于每个三角形的形成都涉及所有待处理的点，且难于通过简单的分块或排序予以彻底解决。数据点越多，问题越突出。而数据逐点插入法在很大程度上克服了这个问题。中国地质大学江城学院具体算法如下(见图9-13)：(1)首先提取整个数据区域的最小外界矩形范围，并以此作为最简单的凸闭包。(2)按一定规则将数据区域的矩形范围进行格网划分。为了取得比较理想的综合效率，可以限定每个格网单元平均拥有的数据点数。(3)根据数据点的(x，y)坐标建立分块索引的线性链表。(4)剖分数据区域的凸闭包形成两个超三角形，所有的数据点都一定在这两个三角形范围内。(5)按照(3)建立的数据链表顺序往(4)的三角形中插入数据点。首先找到包含数据点的三角形，进而连接该点与三角形的三个顶点，简单剖分该三角形为三个新的三角形。(6)根据Delaunay三角形的空圆特性，分别调整新生成的三个三角形及其相邻的三角形。对相邻的三角形两两进行检测，如果其中一个三角形的外接圆中包含有另一个三角形除公共顶点外的第三个顶点，则交换公共边。(7)重复(5)—(6)，直至所有的数据点都被插入到三角网中。中国地质大学江城学院9.5规则矩形格网生成9.5.1网格化插值计算将离散DEM数据经插值计算转换为格网DEM数据的过程称为DEM数据网格化，也就是说，需要用离散的观测点值去估算未知的格网点的值。中国地质大学江城学院9.5.2网格尺寸的确定

样点的密度基本上决定了网格点密度。网格点数宜大于或接近样点数。在采集优选点情况下，可考虑：

n〈N〈2n

式中N为网格点数，n为采样点数。网格尺寸的选定还应分析地形形态特征，原等高线明显地反映了微地形特征，若是采用L边长的网格，则这些特征将消失，再现的等高线必定是一条平直的曲线。

L中国地质大学江城学院当DiK时(K根据DEM精度要求确定)，计算Si值，i=1,2,···,m,mn。计算：

Smin=min{S1，S2，···，Sm}Smin值可以作为确定网格尺寸的参考值。但为了顾及整个制图区域，宜在Si中取若干个小值S小值，并且以其平均值S小值为参考值，可能比Smin更适宜。此时可考虑；

1≤S小值中国地质大学江城学院9.5.3空间插值方法1.距离反转权重法（idw）2.趋势面拟合技术（TrendSurface）3.样条函数插值法（Spline）4.克立金法插值法（kriging）中国地质大学江城学院1.距离反转权重法（idw）距离平方倒数加权法主要原理是某点（或某待估网格）的估计值与周围已知点值的距离平方倒数成一定关系，以空间位置的加权平均来计算。中国地质大学江城学院

设平面上分布一系列离散点，已知其坐标和高程为Xi、Yi、Zi、（i=1,2,…，n），（X,Y）为任一格网点，根据周围离散点的高程，通过距离加权插值求点高程，周围点与点因分布位置的差异，对影响不同，我们把这种影响称为权函数。权函数主要与距离有关，有时也与方向有关。若是在点周围四个方向上均匀取点，那么可不考虑方向因素，这时实践证明，wi=1/di2是较优的选择，di为离散点至p点的距离：

中国地质大学江城学院2.趋势面拟合技术（TrendSurface）

用多项式方程代表的面来逼近（或拟合）现象特征的趋势变化。1.线性或一阶趋势面模型

Z=b0+b1x+b2y这里的特征值z是x、y的函数。系数b由控制点估算.2.高次趋势面模型多数自然现象的分布通常比由一次趋势面生成的趋势面更复杂，拟合更复杂的面要求更高次的趋势面模型，例如二次或二阶趋势面：Z=b0+b1x+b2y+b3x2+

b4xy+b5y2

中国地质大学江城学院3.样条函数插值法（Spline）样条函数将数据平面分成若干单元，在每一单元上用低阶不同的多项式，通常为三次多项式（三次样条函数）构造一个局部曲面，对单元内的数据点进行最佳拟合，并使由局部曲面组成的整个表面连续。43250(1,0)876(0,0)(0,1)(1,1)zxy12304567891011(0,1)(1,1)(1,0)(0,0)x1x中国地质大学江城学院4.克立金法插值法（kriging）

克立金法是由南非采矿工程师克立金（D.G.Krige）创立的。是一种用于空间插值的地理统计方法。克立金法基本原理是根据相邻变量的值（如若干样品元素含量值），利用变差函数所揭示的区域化变量的内在联系来估计空间变量数值的方法。变差函数为区域变量z（x）的增量平方的数学期望，即区域化变量增量的方差。变差函数即是距离h的函数，又是方向a的函数，通式可写成:任一估计域的主量可以通过该域影响范围内几个有效信息值的线性组合得到，即i是与z(xi)有关的加权系数，用来表示各个信息值z(xi)对估值zv*的贡献。中国地质大学江城学院9.7数字高程模型应用9.7.1等高线绘制（

Contouring）1.DEM生成等高线（ContouringaDEM）FindstartpointInterpolatealongalatticesideTestothersidesandInterpolateasneededJointheintermediatepointsSmooththeresultingline中国地质大学江城学院2.TIN生成等高线（ContouringaTIN）FindstartpointInterpolatealongthatsideofthetriangleTesttheoppositevertexInterpolateonappropriatesidejointheintermediatepointsSmooththeresultingline中国地质大学江城学院中国地质大学江城学院ContouringDEMisgenerallybetter