高中数学 基本不等式02 新人教A必修5

普通高中课程标准实验教科书必修5§3.4基本不等式§3.4基本不等式.2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标.思考:(1)会标中含有怎样的几何图形？

(2)能否在这个图案中找出一些不等关系？探究1.问2：Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△DHA是全等三角形，其面积之和是S'=———问1：在正方形ABCD中,设CG=a,DG=b,则正方形的面积为S=————，问3：S与S'有什么样的关系？从图形中易得，s>s',即ADBCEFGHba.探究2问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？ADBCEFGHbaABCDE(FGH)ab.

图片说明：当a=b时，即小正方形EFGH缩为一个点，这时有：

a=b形的角度数的角度

当a=b时,a2+b2－2ab

=(a－b)2=0ABCDE(FGH)ab.结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立此不等式称为重要不等式问题2：当a、b为任意实数时，上式还成立吗？.如果

也可写成

a＞0,b＞0,当且仅当a=b时，等号成立。

此不等式称为基本不等式探究3.概念算术平均数几何平均数(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项..abOABPQ基本不等式的几何意义如图,AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作PQ垂直AB,则PQ=_____,半径AO=_____。问题：请比较半径AO与半弦长PQ的关系？几何意义：圆的半径不小于圆的半弦长。探究4.例1.(1)已知并指出等号成立的条件.(2)已知与2的大小关系,并说明理由.(3)已知能得到什么结论?请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系.例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。.（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xym2。=18/2=9，得xy81，当且仅当x=y时,等号成立，此时，x=y=9。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2。.例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？.例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？.应用基本不等式求最值的条件：

a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等a+b与ab有一个为定值.1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立。注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者