2021-2022年高中数学第四章圆的方程2.3直线与圆的方程的应用5作业含解析新人教版必修2202202261119

PAGEPAGE7直线与圆的方程的应用基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0m[答案]B[解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝eq\r(3.62－0.82)≈3.5(m)．2．已知实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是()A．30－10eq\r(5) B．5－eq\r(5)C．5 D．25[答案]A[解析]eq\r(x2＋y2)为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝eq\r(5)，半径为5，所以最小值为(5－eq\r(5))2＝30－10eq\r(5).3．方程y＝－eq\r(4－x2)对应的曲线是()[答案]A[解析]由方程y＝－eq\r(4－x2)得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(3π,2) D．π[答案]D[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq\f(1,4).5．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A．24 B．16C．8 D．4[答案]C[解析]∵四边形PAOB的面积S＝2×eq\f(1,2)|PA|×|OA|＝2eq\r(OP2－OA2)＝2eq\r(OP2－4)，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．6．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，城市B在A的正东40km外，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h[答案]B[解析]建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为eq\f(20,20)＝1(h)．二、填空题7．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则eq\f(y＋2,x＋1)的取值范围为__________________.[答案][eq\f(3,4)，＋∞)[思路图解][解析]如图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，则eq\f(y＋2,x＋1)表示过P(x，y)和Q(－1，－2)两点的直线PQ的斜率，过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以eq\f(y＋2,x＋1)的取值范围是[eq\f(3,4)，＋∞)．[规律方法]若直线与圆相切，且点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则可设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0.因为直线与圆相切，所以有eq\f(|ka－b＋y0－kx0|,\r(k2＋1))＝r，由此解出k.若此方程有一个实根，则还有一条斜率不存在的切线，一定要加上．8．已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是________.[答案](－3,3eq\r(2)][解析]数形结合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等价于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b≤3eq\r(2)时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y＞0)有公共点．三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．[分析]eq\x(\a\al(建立适当的,直角坐标系))→eq\x(\a\al(求圆与直,线的方程))→eq\x(\a\al(利用直线与圆的,位置关系求解))[解析]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.[点评]若直线与圆相离，圆心到直线的距离为d，半径长为r，则圆上一点到直线距离的最大值为d＋r，最小值为d－r.与已知直线平行的直线和圆相切所成的切点就是对应取得最大值和最小值的点．规律总结：坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算，10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01m)[解析]如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(182－18D＋F＝0.,182＋18D＋F＝0，,62＋6E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝48，,F＝－324.))故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得y＝－24＋12eq\r(6).答：支柱A2P2的长约为12eq\r(6)－24.[点评]在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．能力提升一、选择题1．已知圆C的方程是x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为()A．9 B．14C．14－6eq\r(5) D．14＋6eq\r(5)[答案]D[解析]圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，圆心为C(－2,1)，半径为3.|OC|＝eq\r(5)，圆上一点(x，y)到原点的距离的最大值为3＋eq\r(5)，x2＋y2表示圆上的一点(x，y)到原点的距离的平方，最大值为(3＋eq\r(5))2＝14＋6eq\r(5).2．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，则实数k的范围是()A．k＝－eq\r(2) B．k∈(－eq\r(2)，eq\r(2))C．k∈[－1,1) D．k＝eq\r(2)或－1≤k<1[答案]D[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)[答案]B[解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四边形ABCD的面积为eq\f(1,2)×AC×BD＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).4．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．eq\f(4,5)π B．eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D．eq\f(5,4)π[答案]A[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝eq\f(4,\r(5))，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为eq\f(2,\r(5))，面积最小为eq\f(4π,5)，故选A．二、填空题5．某公司有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路eq\r(2)km和2eq\r(2)km，且A、B景点间相距2km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案]B景点在小路的投影处[解析]所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x轴，过B点与x轴垂直的直线为y轴上建立直角坐标系．由题意，得A(eq\r(2)，eq\r(2))、B(0,2eq\r(2))，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由A、B在圆上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝5\r(2)，))由实际意义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2).))∴圆的方程为x2＋(y－eq\r(2))2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B景点在小路的投影处．6．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________.[答案][0，eq\f(4,3)][解析]首先集合A，B实际上是圆上的点的集合，即A，B表示两个圆，A∩B≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即eq\r(t－42＋at－22)≤2，整理成关于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤eq\f(4,3).三、解答题7.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝eq\f(1,2)(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5h.8．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[解析]以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐