2022年广东省广州市洛溪新城中学高一数学理期末试题含解析

2022年广东省广州市洛溪新城中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．（，） D．（，1）参考答案：B【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【分析】根据题意，由函数在R上是减函数，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=是R上的减函数，则有，解可得≤a＜，即a的取值范围是[，）；故选：B．2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5＝（

）A．－16

B．16

C．31

D．32参考答案：B3.若点在函数的图象上，则函数的值域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.下列对应关系：（

）①：的平方根。②：的倒数。③：。④：中的数平方。其中是到的映射的是：

A．①③

B．②④

C．③④

D．②③参考答案：C5.若直线与直线互相垂直，则等于A.1

B.-1

C.±1

D.-2参考答案：A略6.集合A＝{1,3}，B＝{2,3,4}则A∩B＝()A．{1} B．{2}C．{3}

D．{1,2,3,4}参考答案：C7.己知,则函数的图象不经过

（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D略8.已知，则化简的结果为

（

）A．

B.

C．

D.以上都不对参考答案：B略9.若直线的倾斜角为，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值。【详解】由于直线的倾斜角为，所以，则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键。10.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx| C． D．y=tan（﹣x）参考答案：D【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】利用诱导公式，三角函数的周期性和单调性，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵y=sin2x的最小正周期为=π，在区间（，π）上，2x∈（π，2π）没有单调性，故排除A；y=2|cosx|的最小正周期为π，在区间（，π）上，2x∈（π，2π）没有单调性，故排除B；y=cos的最小正周期为=4π，故排除C；y=tan（﹣x）=﹣tanx的最小正周期为π，在区间（，π）单调第减，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是奇函数,且.若,则_______.参考答案：略12.已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x3+x+1，则f（2）=

．参考答案：9【考点】函数的值．【分析】当x＞0时，f（x）=x3+x﹣1，由此能求出f（2）的值．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x3+x+1，∴当x＞0时，f（x）=x3+x﹣1，∴f（2）=23+2﹣1=9．故答案为：9．13.已知，则的值为

参考答案：614.已知，则.参考答案：∵，∴，即，∴．

15.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为______．参考答案：816.如果指数函数是R上的减函数，则的取值范围是

参考答案：1<a<217.以下命题中，正确命题的序号是

．①函数y=tanx在定义域内是增函数；②函数y=2sin（2x+）的图象关于x=成轴对称；③已知=（3，4），?=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（0，]．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正切函数的单调性，可判断①；根据正弦型函数的对称性，可判断②；根据向量的投影的定义，可判断③；根据函数的单调性，可判断④．【解答】解：函数y=tanx在定义域内不是单调函数，故①错误；当x=时，2x+=，故函数y=2sin（2x+）的图象关于x=成轴对称，故②正确；∵=（3，4），?=﹣2，则向量在向量的方向上的投影是=﹣，故③正确；如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则f′（x）=2ax﹣2≤0在区间（﹣∞，4）上恒成立，解得：a∈[0，]．故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）已知数列{an}成等比数列，且an＞０．（1）若a2－a1=8，a3=m．①当m=48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；（2）若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．参考答案：设公比为q，则由题意，得q＞0．（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得或所以数列{an}的通项公式为an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1．②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2．经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2．（2）由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1．

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝≥32，当且仅当，即q＝，a1＝8(－1)时，

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32．19.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240

参考答案：略20.（12分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．参考答案：考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系．专题： 直线与圆．分析： 求出x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0的交点（﹣1，2），点（﹣1，2）关于点（3，3）的对称点为（7，4）设与x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c1=0，设与2x﹣y+4=0平行的直线为2x﹣y+c2=0，分别代入点（7，4），能求出平行四边形的其余两条直线方程．解答： 解：点（﹣1，2）关于点（3，3）的对称点为（7，4）设与x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c1=0，则点（7，4）在此直线上，c1=﹣11设与2x﹣y+4=0平行的直线为2x﹣y+c2=0，则点（7，4）在此直线上，c2=﹣10故平行四边形的其余两条直线方程为x+y﹣11=0与2x﹣y﹣10=0．点评： 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．21.（本题满分12分)在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为

nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2nmile的C处有一艘缉私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)参考答案：解：设缉私艇追上走私船需t小时

则BD=10tnmile

CD=tnmile

∵∠BAC=45°+75°=120°

∴在△ABC中，由余弦定理得

即由正弦定理得∴∠ABC=45°，∴BC为东西走向∴∠CBD=120°在△BCD