2021-2022年高中数学第四章圆的方程2.1直线与圆的位置关系5作业含解析新人教版必修2202202261109

PAGEPAGE3直线与圆的位置关系一、选择题1．若直线ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．P在圆内 B．P在圆外C．P在圆上 D．不确定解析：选B∵直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，∴a2＋b2＞1.2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：选D直线的方程为y＝eq\r(3)x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,\r(\r(3)2＋－12))＝1，知所求弦长为d＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故选D.3．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)] B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))解析：选C设直线为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圆心(2,0)到直线的距离d＝eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，d应满足d≤r，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).4．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3解析：选C圆C的方程可变为：(x－3)2＋y2＝1，圆心C(3,0)，半径为1.直线y＝x＋1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝eq\r(|PC|2－12)＝eq\r(x0－32＋y\o\al(2,0)－12)＝eq\r(2x\o\al(2,0)－4x0＋9)＝eq\r(2x0－12＋7)≥eq\r(7).5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)解析：选B如下图所示，设圆的圆心为M，则M(3,4)，半径r＝5.当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|＝2r＝10；当过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2eq\r(|MD|2－|MP|2)＝4eq\r(6).此时四边形ABCD的面积为：S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝20eq\r(6)，故选B.二、填空题6．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是____________________．解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，则d＝eq\f(|2－6－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此时，直线方程为：4y－3x－27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知符合题意．答案：4y－3x－27＝0或x＝－17．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝28．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2eq\r(2)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为____________．解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3，或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题9．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程．解：设圆心坐标为(3m，m∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.(1)求直线PA，PB的方程；(2)过P点的圆C的切线长．解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.圆心到直线的距离等于eq\r(2)，即eq\f(|－k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，∴k2－6k－7