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PAGEPAGE5圆的一般方程教学目标(一)知识目标1.讨论并掌握圆的一般方程的特点,并能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.2.能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题,解题过程中能分析和运用圆的几何性质.3.通过对圆的一般方程的特点的讨论,培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度;通过例题的分析讲解,培养学生分析问题的能力.(二)能力目标1.掌握圆的一般方程,分析一般方程的特点.2.培养用配方法求圆心和半径,以及用待定系数法由已知条件导出圆的方程的能力.(三)情感目标渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质激励学生创新、勇于探索教学重点与难点重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.教学过程一、复习并引入新课师:圆的标准方程的一般形式是什么?.生:.师:它的圆心坐标和半径各是什么?生:圆心坐标是,半径是.师:将其展开并整理,得到什么形式?生:.师:这个方程有点长,为了表示的简单些,我们把记为,把记为,把记为,就得到了.(*)这说明圆的方程都可以写成这种形式.那么,它一定表示圆吗?表示圆的条件是什么?它与圆的标准方程又有什么区别和联系?这就是本节课我们所学习的内容.(板书课题:4.1.2圆的一般方程)二、新课师:请大家动动手,将方程左边配方.(放手让同学讨论,教师适当指导,然后由同学说,教师板书.)1.当D2+E2-4F>0时,比较(△)式和圆的标准方程知:(*)式表示以2.即(*)式表示一个点3.当D2+E2-4F<0时,(*)式没有实数解,因而它不表示任何图形.教师总结:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.知识检测(一)1.判断下列方程分别表示什么图形:2.若方程表示圆,则b的取值范围是.规律总结师:圆的一般方程与标准方程如何互化?生:标准方程展开整理得到一般方程;一般方程通过配方得到标准方程.师:表示圆的方程有几种形式.生A:两种.一种是标准方程:;另一种是一般方程:生B:一般方程得加上条件D2+E2-4F>0.师:两种形式的方程各有特点,我们应对具体情况作具体分析、选择.四.例题讲解例1.求过三点的圆的方程;分析:由于不在同一条直线上,因此经过三点有唯一的圆.解:法一:设圆的方程为,∵三点都在圆上,∴三点坐标都满足所设方程,把代入所设方程,得:解之得:所以,所求圆的方程为.圆心坐标(4,-3),半径r=5.法二:也可以设圆的标准方程:将点的坐标代入后解方程组也可以解得师:看这两种方法的解答过程,采用的是什么方法?生:待定系数法.师:用“待定系数法”求圆的方程的步骤是什么?生:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.法三:也可以求和中垂线的交点即为圆心,圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程:.师:求圆的方程时,如何恰当选用圆的方程形式?生:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.教师补充:特殊情况时,可借助图象求解更简单.例2.已知线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,求线段中点的坐标中满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?解:设点的坐标是,由于点的坐标是,且是的中点,所以(*)于是,有因为点在圆上运动,所以点的坐标满足方程,即(**)将(*)式代入(**),得,整理得所以满足的关系为:其表示的曲线是以为圆心,1为半径的圆.说明:该圆就是点的运动的轨迹;所求得的方程就是点的轨迹方程:点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式.五、小结1.方程表示圆的条件是D2+E2-4F>0.2.圆的一般方程与标准方程的互化.3.用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.六、作业:教材第124页必做题:A组第3题,B组第3题选做题:B组第1,2题设计思想这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节
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