2021-2022年高中数学第四章圆的方程1.2圆的一般方程2教案新人教版必修2202202262110

PAGEPAGE5圆的一般方程教学目标(一)知识目标1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径．2．能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．(二)能力目标1.掌握圆的一般方程,分析一般方程的特点.2.培养用配方法求圆心和半径,以及用待定系数法由已知条件导出圆的方程的能力.(三)情感目标渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质激励学生创新、勇于探索教学重点与难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.教学过程一、复习并引入新课师：圆的标准方程的一般形式是什么？．生：．师：它的圆心坐标和半径各是什么？生：圆心坐标是，半径是.师：将其展开并整理，得到什么形式？生：．师：这个方程有点长，为了表示的简单些，我们把记为，把记为，把记为，就得到了.(*)这说明圆的方程都可以写成这种形式.那么,它一定表示圆吗？表示圆的条件是什么？它与圆的标准方程又有什么区别和联系？这就是本节课我们所学习的内容.(板书课题：4.1.2圆的一般方程)二、新课师:请大家动动手，将方程左边配方.(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以2．即(*)式表示一个点3．当D2+E2－4F<0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.知识检测（一）1.判断下列方程分别表示什么图形：2.若方程表示圆，则b的取值范围是.规律总结师：圆的一般方程与标准方程如何互化？生：标准方程展开整理得到一般方程；一般方程通过配方得到标准方程．师：表示圆的方程有几种形式．生A：两种.一种是标准方程：；另一种是一般方程：生B：一般方程得加上条件D2+E2－4F＞0．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．四．例题讲解例1．求过三点的圆的方程；分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为，∵三点都在圆上，∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：解之得：所以，所求圆的方程为．圆心坐标（4，-3），半径r=5.法二：也可以设圆的标准方程：将点的坐标代入后解方程组也可以解得师：看这两种方法的解答过程，采用的是什么方法？生：待定系数法.师：用“待定系数法”求圆的方程的步骤是什么？生：(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.法三：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．师：求圆的方程时,如何恰当选用圆的方程形式？生：①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.教师补充：特殊情况时,可借助图象求解更简单.例2．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）于是，有因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得，整理得所以满足的关系为：其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．五、小结1.方程表示圆的条件是D2+E2－4F＞0.2.圆的一般方程与标准方程的互化.3.用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.六、作业：教材第124页必做题：A组第3题，B组第3题选做题：B组第1，2题设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节