2022年北京第四十三中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年北京第四十三中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设O是三角形ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为（

）

A．2

B．

C．1

D．参考答案：D略2.将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：D3.球O的半径为1，该球的一小圆O1上两点A、B的球面距离为，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b=

（A）（1，1）

（B）（-1，-1）

（C）（1，-1）

（D）（-1，1）参考答案：D略5.若且则的值为（

）A．B．C．D．参考答案：C略6.设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(

)A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】由题意a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，若a∥b，l与a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此对命题进行判断；【解答】解：∵a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α，若“l⊥α，∵a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，∴l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分的条件，故选C．【点评】此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．7.非零向量与，对于任意的的最小值的几何意义为

.参考答案：8.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200π B．50π C．100π D．π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．10.已知函数，函数，若方程恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】当时，，求导，由可得，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数与曲线的图象求解.【详解】当时，，则，由，可得.当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示.若函数与恰好有4个公共点，则，即，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列.类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若=

，则数列{}也为等比数列.36.参考答案：

由等差数列的的和，则等比数列可类比为﹒的积；对求算术平均值，所以对﹒求几何平均值，所以类比结果为.12.已知函数f（x）＝，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是_______．

参考答案：略13.设互不相等的平面向量组，满足：①；②，若，则的取值集合为

参考答案：{0,2,}【知识点】向量的加法向量的模F1解析：由题意知m最大值为4，当m=2时，为以OA,OB为邻边的正方形的对角线对应的向量，其模为，当m=3时，，其模为2，当m=4时，，其模为0，所以的取值集合为{0,2,}..【思路点拨】可先结合条件由m=2开始逐步分析所求向量的和向量，再求其模即可.14.函数的值域为________．参考答案：且，∴且，即值域为且．15.的计算可采用如图所示的算法，则图中①处应填的条件是

。参考答案：n≤6？

16.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为_________.参考答案：17.已知，且，则当时，的单调递减区间是

．参考答案：

或

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．参考答案：（1）抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人（2）2.75%（3）约为4.51亿元试题分析：（1）有图表得到分层比例，得抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人；（2）80岁及以上长者有：=11万人，百分比为：=2.75%；（3）用样本估计总体，年度预算约为4.51亿元。试题解析：（1）数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025

从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：=故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为6人，能自理的80岁及以上长者人数为10人；

（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：=所以80岁及以上长者有：=11万人用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为：=2.75%

（3）先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为14+25+20+45+20=125人，享受600元/年的人数为600﹣125=475人，预算为：125×1000+475×600=41×104元用样本估计总体，全市老人的总预算为×41×104=4.51×108元:所以政府执行此计划的年度预算约为4.51亿元19.已知椭圆C：的离心率为，F为该椭圆的右焦点，过点F任作一直线交椭圆于两点，且的最大值为4.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，求证：.参考答案：解：（Ⅰ）依题意知：，，即；所求椭圆的方程：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，；（ⅰ）当直线斜率不存在时，；直线；所以,同理；即；即；所以．（ⅱ）当直线斜率存在时，设直线，，[来源:学,科,网Z,X,X,K]由得：[来源:Z_xx_k.Com]即，，由三点共线得：，同理即,,∴即所以．20.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆和的极坐标方程；（Ⅱ）射线：与圆交于点、，与圆交于点、，求的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）圆和的普通方程分别是和，∴圆和的极坐标方程为，．（Ⅱ）依题意得点、的极坐标分别为，，∴，，从而，当且仅当，即时，上式取“”，取最大值是4．21.已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列。求数列的通项；求数列的前项和参考答案：（1）（舍）

（2）由等比数列求和公式，略22.已知椭圆C：的离心率为，长轴长为8.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，椭圆C的左顶点为D，右焦点为F，经过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，求四边形ADBF面积S的最大值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据离心率和长轴长，结合，求得，由此求得椭圆的方程.（Ⅱ）设直线的方程为