2022山西省长治市示范中学高三数学理模拟试卷含解析

2022山西省长治市示范中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的 （

） A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是参考答案：C略2.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，m∥α，则n∥α参考答案：C【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，γ与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥α或n?α．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A错误；若m∥n，m?α，n?β，则α与β相交或平行，故B错误；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n?α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．3.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知实数a、b满足，则使的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由题意，可知表示半径为2的圆,周长为4π，又点(2,2)到直线的距离为，所以直线被圆所截的弧所对的圆心角为90°,由几何概型的概率公式可得使的概率为，故选C.

5.若集合，全集，则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以,所以，选A.6.函数的一个单调减区间是A．

B．

C．

D．参考答案：B7.某个团队计划租用A,B两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A,B两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆.要求租用A型车至少1辆，租用B型车辆数不少于A型车辆数且不超过A型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的最小值是(

)A.1280元

B.1120元C.1040元

D.560元参考答案：B8.已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（）A．﹣16 B．﹣6 C． D．6参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如下图：由于目标函数z=x+3y的最大值为8，可得直线y=x与直线8=x+3y的交点A（2，2），使目标函数z=x+3y取得最大值，将x=2，y=2代入2x+y+k=0得：k=﹣6．故选B．9.已知集合，，则等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10+2的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．12参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：，则a：b：c=2：3：，∵△ABC周长为10+2，即a+b+c=10+2，∴a=4，b=6，c=2，所以S==6，故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为

．参考答案：12.过双曲线的左焦点的切线，切点E，延长FE交双曲线于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为_________参考答案：13.设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：作出直线所围成的区域，

如图所示，，当时，满足题意.

14.展开式中，的系数为

（用数字作答）．参考答案：的展开式的通项为，所以，，所以的系数为，.15.若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则=__________参考答案：略16.已知实数x，y满足则z=2|x|+y的取值范围是．参考答案：[﹣1，11]【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里特殊点，然后将其代入z=2|x|+y中，求出z=2|x|+y的取值范围．【解答】解：根据约束条件画出可行域，画出z=2|x|+y表示的虚线部分．由图得当虚线部分z=2|x|+y过点D（0，﹣1）时，Z最小为﹣1．当z=2|x|+y过点A（6，﹣1）时，Z最大为11．故所求z=2|x|+y的取值范围是[﹣1，11]故答案为：[﹣1，11]．17.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则

.参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知：函数f（x）=2sin2x+sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g()的值．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=，进而利用周期公式即可计算得解．（Ⅱ）由（k∈Z），即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律可求，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】（本题满分为13分）解：===，…（Ⅰ）；

…（Ⅱ）由（k∈Z），得（k∈Z），则f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；

…（Ⅲ）函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把得到的图象向左平移个单位得到函数的图象，即，则．

…19.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求圆C的极坐标方程；（2）已知射线，若m与圆C交于点A（异于点O），m与直线l交于点B，求的最大值.参考答案：（1）；（2）3【分析】（1）先由参数方程消去参数，得到普通方程，再由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求出结果；（2）将分别代入圆的极坐标方程，和直线的极坐标方程，得到，，根据三角函数的性质，即可求出结果.【详解】（1）由圆的参数方程为消去参数，得到圆普通方程为，即，所以其极坐标方程为，即；（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；将代入线的极坐标方程，得，所以，因为，所以，因此，当，即时，取得最大值3.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20.已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；（Ⅱ）根据f（a）=，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4α+）的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）∵f（x）的最小正周期为T=π∴，ω=1，∵f（x）的最大值为2，∴=2，即a=±1，∵a＞0，∴a=1．即f（x）=2sin（2x+）．由2x+=+kπ，即x=+，（k∈Z）．（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，则sin（4α+）=sin[2（2α+）]=﹣cos2（2α+）=﹣1+2sin2（2α+）=﹣1+2×（）2=﹣．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．同时也考查三角函数倍角公式的应用．21.如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答： 解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又因为，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．22.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于C，D，其中∠APE=30°．（1）求证：?=；（2）求∠PCE的大小．参考答案：【