2021-2022学年陕西省西安市师范大学锦园中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年陕西省西安市师范大学锦园中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知不等式组表示平面区域，若直线经过平面区域，则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④参考答案：C试题分析：设截面与底面的距离为，则①中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以①④中截面的面积相等，故选C．考点：1、数学文化；2、空间几何体的体积．【举一反三】处理球的截面问题，主要利用截面圆的半径，球的半径，球心到截面距离为三者之间的勾股关系，即．3.定义域为[a，b]的函数y＝f(x)图象的两个端点为A、B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中x＝λa＋(1－λ)b，λ∈[0,1]．已知向量，若不等式|恒成立，则称函数f(x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1,2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为(

)A．[0，＋∞)

B．[，＋∞)C．[，＋∞)

D．[，＋∞)

参考答案：C略4.为虚数单位，复数的虚部是A．

B．

C．

D.参考答案：5.函数有零点的区间是()A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若命题甲为：成等比数列，命题乙为：成等差数列，则甲是乙的A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C7.设函数f（x）=x?ex，g（x）=x2+2x，，若对任意的x∈R，都有h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]成立，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】2H：全称命题．【分析】由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k；构造函数H（x）=f（x）+kg（x），利用导数H'（x）判断H（x）的单调性，求出H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出k的取值范围．【解答】解：由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立，等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k①；设函数H（x）=f（x）+kg（x），则H'（x）=（x+1）（ex+2k）；（1）设k=0，此时H'（x）=ex（x+1），当x＜﹣1时H'（x）＜0，当x＞﹣1时H'（x）＞0，故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增，故H（x）≥H（﹣1）=﹣e﹣1；而当x=﹣1时h（x）取得最大值2，并且﹣e﹣1＜2，故①式不恒成立；（2）设k＜0，注意到，，故①式不恒成立；（3）设k＞0，H'（x）=（x+1）（ex+2k），此时当x＜﹣1时H'（x）＜0，当x＞﹣1时H'（x）＞0，故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增，故；而当x=﹣1时h（x）max=2，故若使①式恒成立，则，解得．【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题．8.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略9.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”参考答案：A【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．10.复数的模为（

）A.1 B.2 C. D.参考答案：A【分析】根据复数的除法运算化简再求模长即可.【详解】.模长为1.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算.属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，点M为扇形的弧的四等分点即，动点分别在线段上，且若，，则的最小是

．参考答案：连结OM，设OC=a，则OD=1-a由余弦定理可得：12.正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm3.参考答案：由题意知，弧长为×8＝2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r＝，可得圆锥高h＝，所以容积V＝πr2×h＝π×;13.已知正方形边长为2，是的中点，则

.参考答案：214.设均为大于的自然数，函数若存在实数，使得则的值为

.参考答案：4略15.已知椭圆的上下两个焦点分别为，点为该椭圆上一点，若，为方程的两根，则=____________.

．参考答案：-3，16.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是

.参考答案：17.已知向量不共线，，，如果，则k=_________．参考答案：【分析】根据向量平行坐标表示列式求解.【详解】向量不共线，故答案为：【点睛】本题考查根据向量平行求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．

停车时间取车概率停车人员（0，2]（2，3]（3，4]（4，5]甲xxx乙y0（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）首先求出x、y，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可．（2）随机变量ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（1）由题意得．．记甲乙两人所付车费相同的事件为A，P（A）=，甲、乙两人所付车费相同的概率为．（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．所以ξ的分布列为：ξ012345P∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题．19.已知数列{an}的首项为a（a≠0），前n项和为Sn，且有Sn+1=tSn+a（t≠0），bn=Sn+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤bn，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若cn=2+b1+b2+…+bn，求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对（a，t）．参考答案：【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1”，化简Sn+1=tSn+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出an；（Ⅱ）由条件和（I）求出bn，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出Sn，代入bn化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出cn，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且Sn+1=tSn+a（t≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，Sn=tSn﹣1+a，∴（Sn+1﹣Sn）=t（Sn﹣Sn﹣1），则an+1=tan，又a1=a≠0，综上有，即{an}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则Sn=2n，∴bn=Sn+1=2n+1，则==，∴=[（）+（）+]=（）=，代入不等式k（++…+）≤bn，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴Sn=，则bn=Sn+1=1+=1+﹣，∴cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣（t+t2+…+tn）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{cn}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．【点评】本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，数列的求和方法：裂项相消法、分组求和法，以及“n=1时a1=S1、当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1”关系式的应用，综合性强．属于难题．20.(本小题满分12分)直三棱柱中，，，分别是、的中点，，为棱上的点.（1）证明：;（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.参考答案：（1）证明：，∥

又

面

又面

………2分

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则,,,,设，

且,即：

………5分

………6分（2）假设存在,设面的法向量为

，

则

即：

令

.

………8分

由题可知面的法向量

………9分

平面与平面所成锐二面的余弦值为

即：

或（舍）

………11分

当点为中点时，满足要求.

………12分21.已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0?a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0?a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴?a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：

x

（0，1）

1（1，+∞）

g′（x）+

0﹣

g（