2021-2022学年辽宁省大连市第一一八高级中学高二数学文期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省大连市第一一八高级中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率是

A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为(

)A.216

B.72

C.42

D.252

参考答案：D3.如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中

点，则直线和所成的角是

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知函数在处的导数为1，则=

A．3

B．

C．

D．参考答案：5.已知，则

（

）A. B. C. D.参考答案：A6.设在内单调递增，，则是的（）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件参考答案：B7.函数y=x2cosx的导数为（

）A．y′=x2cosx-2xsinx

B．y′=2xcosx+x2sinxC．y′=2xcosx-x2sinx

D．y′=xcosx-x2sinx参考答案：C略8.圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍，结合图象求出满足条件的概率即可．【解答】解：如图示：设圆柱的高是h，则2πr2+2πrh=?2πrh，解得：h=2r，若|PO|≤r，P在以O为圆心，以r为半径的圆内，∴使|PO|≤r的概率是：p==，故选：C．【点评】本题考查了几何概型问题，考查圆柱、圆的有关公式，是一道基础题．9.若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．【解答】解：由l1∥l2得：=≠，解得：a=﹣1，∴l1与l2间的距离d==，故选：B．【点评】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的条件A1B2﹣A2B1=0的应用，及两平行线间的距离公式d=的应用．10.在△ABC中，若a2=b2+c2﹣bc，则角A的度数为（）A．30° B．150° C．60° D．120°参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA===，A∈（0°，180°）．∴A=30°，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为

．参考答案：2x+y﹣3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；构造法；直线与圆．【分析】欲求直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用﹣y替换得到的新方程即为所求．【解答】解：∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=﹣f（x），∴直线y=2x﹣3关于x对称的直线方程为：y=﹣2x+3，即2x+y﹣3=0，故答案为：2x+y﹣3=0．【点评】本题考查直线关于点，直线对称的直线方程问题，需要熟练掌握斜率的变化规律，截距的变化规律．12.若实数x，y满足，则z=3x+2y的最小值是

．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合求得最优解，代入最优解的坐标求得t的最小值，则z=3x+2y的最小值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y，则y=，由图可知，当直线y=过O（0，0）时，t有最小值为0．∴z=3x+2y的最小值是30=1．故答案为：1．13.已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数，当时取到极大值c，则ad=________.参考答案：－1由等比数列的性质，得ad＝bc，又解得故ad＝bc＝－1.14.不等式组（a为常数），表示的平面区域面积为8，则的最小值为_________________________

参考答案：15.设p=(2,7)，q=(x,-3)，若p与q的夹角，则x的取值范围是

.参考答案：(,+∞)；解析：p与q的夹角?p?q>0?2x-21>0?，即x?(,+∞).16.已知点在直线上，则的最小值为_______________。参考答案：17.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．参考答案：【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可。【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，由韦达定理知，，所以当且仅当取等号。【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥，底面，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．参考答案：（1）、是、的中点又

…………4分(2)底面又且…………8分19.（12分）已知二次函数，若，且对任意实数都有成立。（1）求的表达式；（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围。参考答案：20.（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以kCB=﹣；同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．21.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，4），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px．（p＞0）．把点P（1，4）代入抛物线方程解得p即可得出；（2）由直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，可得k1+k2=0，化简可得y1+y2=﹣8．再利用直线AB的斜率kAB=即可得出．【解答】解：（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px，（p＞0）．把点（1，4），代入抛物线方程可得：16=2p，则p=8，∴抛物线的方程为：y2=16x；（2）∵直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k1+k2=+=+=+=0，化简可得y1+y2=﹣8，直线AB的斜率kAB====﹣，直线AB的斜率﹣．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．【专题】待定系数法．【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a