2021-2022学年湖南省衡阳市 县西渡中学高三数学文月考试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市县西渡中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,

且g(3)=0.则不等式的解集是

A．（－3,0)∪(3,+∞)

B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞,-3)∪(3,+∞)

D．(－∞,－3)∪(0,3)

参考答案：2.设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）

A．过一定存在平面,使得

B．过一定不存在平面,使得C．在平面内一定存在直线，使得D．在平面内一定不存在直线，使得参考答案：C3.在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．12参考答案：B【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于a的等式解之即可．【解答】解：由题意|m|＜2的概率为，则=，解得a=6；故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A.

B.

Ｃ.D.参考答案：C5.函数的图象大致是参考答案：A略6.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是(

)A.(6，＋∞)

B.(5，＋∞)C.(4，＋∞)D.(3，＋∞)参考答案：A略7.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是 A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知向量，命题，命题，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略9.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是A

B

C

D参考答案：C略10.下列说法中，正确的是（）A．命题“若ax2＜bx2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题C．命题“?t∈R，t2﹣t≤0”的否定是?t∈R，t2﹣t＞0D．命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”均为假命题参考答案：C【考点】四种命题．【专题】综合题；阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】分别写出原命题的逆命题、逆否命题判断A，B；写出原命题的否定判断C；由复合命题的真假判断判断D．【解答】解：命题“若ax2＜bx2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜b，则ax2＜bx2”，x2=0时不成立，是假命题．A错误；命题“x=y，则sinx=siny”为真命题，则其逆否命题为真命题．B错误；命题“?t∈R，t2﹣t≤0”的否定是?t∈R，t2﹣t＞0．C正确；命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”至少一个为假命题．D错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x、y、z∈R,且2x＋3y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为

参考答案：12.已知,则的值为

．参考答案：试题分析：因为，所以．考点：三角函数的化简求值．13.在数列中，，且，则这个数列的前30项的绝对值之和为

__________.

参考答案：答案：76514.的展开式中常数项等于参考答案：

【知识点】二项式系数的性质．J3解析：的展开式的通项公式为Tr+1=??（﹣3）r?，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项等于??（﹣3）3=﹣，故答案为：．【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．15.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16.已知命题p：?x∈R，x2＞x﹣1，则?p为．参考答案：?x∈R，x2≤x﹣1略17.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是

．参考答案：因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2.，所以，即的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝loga是奇函数（a>0，a≠1）。???（Ⅰ）求m的值；???（Ⅱ）求f′（x）和函数f（x）的单调区间；???（Ⅲ）若当x?（1，a－2）时，f（x）的值域为（1，＋￥），求实数a的值。参考答案：（Ⅰ）依题意，f（－x）＝－f（x），即f（x）＋f（－x）＝0，即loga＋loga＝0，∴?＝1，m2x2－1＝x2－1，1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1（不合题意，舍去）当m＝－1时f（x）的定义域为＞0，即x?（－￥，－1）∪（1，＋￥），又有f（－x）＝－f（x），∴m＝－1是符合题意的解

（3分）（Ⅱ）∵f（x）＝loga，∴f′（x）＝（）′logae＝?logae＝logae

（5分）①若a>1，则logae>0当x?（1，＋￥）时，1－x2<0，∴f′（x）<0，f（x）在（1，＋￥）上单调递减，即（1，＋￥）是f（x）的单调递减区间；由奇函数的性质，（－￥，－1）是f（x）的单调递减区间②若0<a<1，则logae<0当x?（1，＋￥）时，1－x2<0，∴f′（x）>0，∴（1，＋￥）是f（x）的单调递增区间；由奇函数的性质，（－￥，－1）是f（x）的单调递增区间

（8分）（Ⅲ）令t＝＝1＋，则t为x的减函数当x?（1，a－2），\d\fo0((（1，＋￥），即当1<a－2时，有a>3，且t?（1＋，＋￥）要使f（x）的值域为（1，＋￥），需loga（1＋）＝l，解得a＝2＋

（12分）19.在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取PA的中点N，连接MN，NC，由三角形中位线定理可得MN∥AD，由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AD，结合AC⊥AD，可得AD⊥平面PAC，进一步得到MN⊥PA，再由等腰三角形的性质可知CN⊥PA，由线面垂直的判定得到PA⊥平面MNC，则有PA⊥CM；（2）设PC=AC=1，解三角形可得CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．求得A，C，D，P的坐标，进一步求出平面PAC与平面ACM的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点N，连接MN，NC，∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，则MN⊥PA，∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，又∵CM?平面MNC，∴PA⊥CM；（2）解：设PC=AC=1，则BC=，∵BA⊥BC，∴cos，∴∠ACD=∠ACB=60°，又∵AC⊥CD，∴CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．则A（，0，0），C（0，﹣，0），D（，﹣，0），P（0，﹣，1），∴M（，﹣1，）．，．∵DA⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量．设是平面ACM的一个法向量，则，即，令x=1，得．∴|cos＜＞|=||=||=．由图可知，二面角M﹣AC﹣P为锐角，∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值为．20.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB=60°，AA1=AB=2．（I）求证：EF∥平面AB1D1；（II）求三棱锥A﹣CB1D1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】（I）如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得AOFE是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M．可得=，=+，由于四边形BACD是菱形，BB1⊥平面ABCD，可得平面BDD1B1⊥平面ABCD，AM⊥平面BDD1B1，即可得出=．【解答】证明：（I）如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵，，∴．∴AOFE是平行四边形，∴EF∥OA，而EF?平面AB1D1，OA?平面AB1D1；∴EF∥平面AB1D1．（II）连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M．则=，=+=2，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴==×2×2=，∴=．【点评】本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，，，上述不等式化为数轴上点到两点，距离之和小于等于1，则，即原不等式的解集为

（2）∵的解集包含，∴当时，不等式恒成立，即在上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴，∴.22.在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tan