2021-2022学年湖南省岳阳市临湘城南中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省岳阳市临湘城南中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设平面向量，若//，则等于A.B.C.D.参考答案：D略2.在△ABC中，已知AB=4，则△ABC的面积是（）A． B． C．或 D．参考答案：C【考点】正弦定理的应用．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由△ABC的面积为×AB×BC×sinB运算求得结果．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，AC=BC，∠B=∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∠C=120°，△ABC的面积为?AB?BC?sinB=?4?4?=4．当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选：C．3.设，则（

）A．

B． C．

D．参考答案：B4.是曲线上任意一点，则的最大值是__________.

A.25

B.6

C.26

D.36参考答案：D略5.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：C【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C6.已知复数（，，为虚数单位），则

参考答案：C7.已知，，则A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∴A为锐角，可得A=，∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．故选：A．9.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.函数的大致图象是（

）参考答案：C函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除AB当x=2时，，故排除D故选C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为_________.参考答案：略12.已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程

．参考答案：x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的右准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的右准线方程为x=．故答案为：x=．13.设则的大小关系是__________.参考答案：略14.关于x的方程k?4x﹣k?2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是．参考答案：[5，6]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】换元：令t=2x，则t∈[1，2]，原方程化为k?t2﹣2k?t+6（k﹣5）=0，根据题意，问题转化为此方程在[1，2]上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论．【解答】解：令t=2x，则t∈[1，2]，∴方程k?4x﹣k?2x+1+6（k﹣5）=0，化为：k?t2﹣2k?t+6（k﹣5）=0，根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，整理，得：方程k（t2﹣2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解∴，当t∈[1，2]时存在实数解∵t2﹣2t+6=（t﹣1）2+5∈[5，6]∴故答案为[5，6]15.已知定义在上的函数，满足，若时，，则

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．参考答案：16.几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，为切点,是圆的割线．若，则______．参考答案：略17.在△ABC中，C=，∠B=，b=2，则∠A=

．参考答案：105°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角C，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到A．【解答】解：由题意：已知，由正弦定理=，则有sinC=∵0°＜C＜135°∴C=30°则A=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，点E是PC中点.(I)求证：(II)若F为棱PC上一点，满足,求二面角F—AB—P的余弦值.

参考答案：(I)略(II)解析：解：(I)取CD中点M，连MB，证得(II)以A为原点建立坐标系,AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，则，设由得，则，设为平面FAB的一个法向量，平面ABP的一个法向量，由已知得二面角F—AB—P余弦值.

略19.选修4—1：几何证明选讲如图,已知圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，于，交于，交于，．

（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：。参考答案：20.已知，函数，其中．

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）在函数的图像上取点，记线段PnPn+1的斜率为kn，．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）；

（ⅱ）．

参考答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）见解析解析：（Ⅰ）时，，求导可得

……………3分

所以，在单调递增，故的最小值是．…………5分（Ⅱ）依题意，．

……………6分（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取，则当时，即．

于是，即知．…………8分

所以．

……………9分（ⅱ）取，则，求导可得

当时，，故在单调递减．

所以，时，，即．……………12分

注意到，对任意正整数，，于是，即知．……………13分所以

．

……………14分

略21.在平面直角坐标系中，已知曲线：，以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线：.(Ⅰ)试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；(Ⅱ)在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.

参考答案：22.（本题满分12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．参考答案：（1）设该