2021-2022学年河南省商丘市郑集乡联合中学高二数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年河南省商丘市郑集乡联合中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的值等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.定义：分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=++，1=+++，1=++++，以此类推，可得：1=++++++++++++，其中a＜b，a，b∈N*，设1≤x≤a，1≤y≤b，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】归纳推理．【分析】根据1=++++++++++++，结合裂项相消法，可得+==，解得a，b值，可得答案．【解答】解：∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，∵1=++++++++++++，∴+==，∴a=13，b=20，则=1+，∵1≤x≤13，1≤y≤20，∴y=1，x=13时，的最小值为，故选：D．【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，确定a，b的值是关键．3.设,,,,满足,则它们的大小关系是()A.G<F<H<T

B.T>H>G>F

C.H>G>F>T

D.H>G>T>F参考答案：C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F//平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是

(

)参考答案：D5.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，其中甲成绩的中位数为15，极差为12；乙成绩的众数为13，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．＞，s1＜s2 B．=，s1＜s2C．=，s1=s2 D．=，s1＞s2参考答案：B【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】根据题意，得出y、x、z的值；求出甲、乙测试成绩的平均数，得出=；由标准差的意义得出s1＜s2．【解答】解：根据题意，得20+y﹣9=12，∴y=1，x=5，z=3；∴甲测试成绩的平均数是==15，乙测试成绩的平均数是=15，∴=；又∵甲的测试成绩数据极差小，数据比较集中，∴标准差小，乙的测试成绩数据极差相对大，数据比较分散，∴标准差大，∴s1＜s2；故选：B．6.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（

）A．

B．

C． D．参考答案：B略7.函数的导函数图像如图所示，则函数的极小值点个数有：A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：B8.函数的导函数是，若对任意的，都有成立，则A.

B.

C.

D.无法比较参考答案：B略9.已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B10.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（）A．=1 B．C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意设出椭圆方程并求得a值，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0）．且2a=4，∴a=2，又，∴c=1，则b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若且，则复数=

参考答案：或12.已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为．参考答案：5【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整数k的最大值是5．故答案为：5．13.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是

．参考答案：（e2，+∞）14.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出

参考答案：略15.已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，则椭圆的离心率等于_________.参考答案：【分析】先求出FQ的长，在直角三角形FMQ中，由边角关系得，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值.【详解】解：由已知得：，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，所以，所以，故答案：.16.在掷一次骰子的游戏中，向上的数字是1或6的概率是____________.参考答案：略17.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角取值范围是，则点纵坐标的取值范围为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题P：在R上定义运算?：x?y=（1﹣x）y．不等式x?（1﹣a）x＜1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式≥2对任意的x∈N*恒成立．若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．参考答案：考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）由题意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命题P为真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0对任意实数x恒成立，对1﹣a分类讨论：当1﹣a=0时，直接验证；当1﹣a≠0时，，解出即可．（2）若命题Q为真，不等式≥2对任意的x∈N*恒成立，可得（x2+ax+6）≥2（x+1）对任意的x∈N*恒成立，即对任意的x∈N*恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．由于P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，可得P，Q中必有一个真命题，一个假命题．解答：解：（1）由题意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命题P为真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0对任意实数x恒成立，∴①当1﹣a=0即a=1时，1＞0恒成立，∴a=1；②当1﹣a≠0时，，∴﹣3＜a＜1，综合①②得，﹣3＜a≤1．若命题Q为真，∵x＞0，∴x+1＞0，则（x2+ax+6）≥2（x+1）对任意的x∈N*恒成立，即对任意的x∈N*恒成立，令，只需a≥f（x）max，∵，当且仅当，即x=2时取“=”．∴a≥﹣2．∵P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，∴P，Q中必有一个真命题，一个假命题．若P为真Q为假，则，﹣3＜a＜﹣2，若P为假Q为真，则，∴a＞1，综上可得a取值范围：﹣3＜a＜﹣2或a＞1．点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法、很残酷问题的等价转化方法、分类讨论思想方法、基本不等式的性质、不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．参考答案：【考点】不等式的证明；基本不等式；等比数列的性质．【分析】左边减去右边等于2（ab+bc﹣ac），用等比数列的定义以及基本不等式可得a+c＞b，进而推出2（ab+bc﹣ac）＞0，从而证得不等式成立．【解答】证明：∵a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac）．∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，∴b2=ac≤，开方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，证明PA∥OE，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面EDB．（2）证明BC⊥平面PDC．推出BC⊥DE．证明DE⊥PC，得到DE⊥平面PBC，说明DE⊥PB．结合EF⊥PB，证明PB⊥平面DEF．【解答】证明：（1）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，∴OE为△PAC的中位线，∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，∴PD⊥DC，而PD=DC，∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF．21.（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，且过，（1）求双曲线的标准方程；（2）直线与双曲线交于两点，求证：。参考答案：设双曲线的标准方程为，代入点双曲线的标准方程为（2）由（1），，

22.（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB，KAC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．（2）设切线方程为y=kx+1，则（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2（k1≠k2），k1?k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．（2）A（0，1），设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为