2021-2022学年河北省保定市定州中山中学高二数学理测试题

2021-2022学年河北省保定市定州中山中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B因为两个函数和的图象关于对称，所以函数与函数互为反函数，又因为函数的反函数为，即，函数的图象向左平移两个单位可得，即函数的解析式为，故选B．

2.2014年巴西世界杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

(

) A．18种

B．36种

C．48种

D．72种参考答案：D略3.表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图．则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为（）A．56分 B．57分 C．58分 D．59分参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，先把甲、乙运动员得分按从小到大的顺序排列，求出它们的中位数，再求和．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分按从小到大的顺序排列为4，14，14，24，25，31，32，35，36，36，39，45，49，∴它的中位数是32；乙运动员得分按从小到大的顺序排列为8，12，15，18，23，25，26，32，33，34，41，∴它的中位数是25；∴32+25=57．故选：B．4.对于任意实数a、b、c、d，命题：①；②；③；④；⑤．其中真命题的个数是（

）A、1 B、2C、3D、4参考答案：B5.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．6.设～N(0,1),且P(<1.623)=p,那么P(-1.623)的值是A

p

B

-p

C

0.5-p

D

p-0.5

参考答案：D7.设x，y满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（

）A.7 B.8 C.13 D.14参考答案：D可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，，故的最大值与最小值的和为14，选D.8.已知函数，其导函数的图象如下图，则对于函数的描述正确的是A.在上为减函数

B.在上为减函数C.在处取得最大值

D.在处取得最小值参考答案：B9.如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为(如图②)，则图①中的水面高度为.A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.观察，则归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则

A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则=

。参考答案：12.已知常数θ∈(0，)，则(tanθ)>(cotθ)x–8不等式的解集是

。参考答案：x≤–2或5≤x<13.已知A(-5，6)关于直线的对称点为B(7，-4)，则直线的方程是________.参考答案：14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______

参考答案：15.在下列命题中：①若向量a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则向量a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为__________参考答案：0略16.已知抛物线方程为的焦点为F，点P为抛物线C上任意一点，若点，则的最小值为

参考答案：417.已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=．参考答案：2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为、、、）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、爆破的概率分别为.这三项测试能否通过相互之间没有影响．（1）求能够入选的概率； （2）规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望（期望精确到个位）．参考答案：（I）设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P则能够入选包含以下几个互斥事件：.（Ⅱ）记表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为，又可能的取值为0，1，2，3，4.，

，，

，01234P

∴训练经费的分布列为：5000100001500020000

19.已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）当a=﹣2时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）求导f′（x）=2x+=（x＞0），当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．分①a≥﹣2，②﹣2e2＜a＜﹣2，③a≤﹣2e2，三种情况得到函数f（x）在[1，e]上是单调性，进而得到[f（x）]min；（3）由题意可化简得到（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），则f′（x）=2x﹣=（x＞0）由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）f′（x）=2x+=（x＞0），当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f′（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．②若﹣2e2＜a＜﹣2，当x=时，f′（x）=0；当1≤x＜时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；当＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min=f（）=ln（﹣）﹣．③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为ln（﹣）﹣，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），则，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．20.(本小题满分16分)已知函数，且在处的切线方程为（1）求的解析式；

（2）证明：当时，恒有（3）证明：若且则参考答案：解（1）,切线斜率，ks5u在处的切线方程为,即

(4分)（2）令

当时，;时，故即.（10分）（3）先求在处的切线方程，由(1)知,

略21.如右图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）.求点P的轨迹方程；（2）.若点P到点M距离是到点N距离的