2021-2022学年江苏省南京市第四十一中学高二数学理联考试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市第四十一中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m?α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①如果α∥β，m?α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m?β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C2.已知实数,则下列不等式中恒成立的一个是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略3.已知二次函数y＝ax2＋(a2＋1)x在x＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是()A.B.C.D.参考答案：D4.已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“a不是正数，则它的平方等于0”，则是的（

）A．逆命题B．否命题

C．逆否命题

D．否定参考答案：B略5.对于不等式，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，，不等式成立；（2）假设当时，不等式成立，即，即当时，，∴当时，不等式成立，则上述证法（

）A.过程全部正确

B.验证不正确C.归纳假设不正确

D.从到的推理不正确参考答案：D点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.6.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为（

）A.232

B.252

C.472

D.484参考答案：C7.设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为（

）

A

B

C

D

参考答案：C8.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（

）

A.3

B.4

C.

D.参考答案：C略9.过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：，又．考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）．10.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（） A．4 B． C． D．8参考答案：C【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1， 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2）， AK⊥l，垂足为K（﹣1，2）， ∴△AKF的面积是4 故选C． 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过椭圆左焦点F1作弦AB，则（F2为右焦点）的周长是

参考答案：１６略12.已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________参考答案：【分析】对m进行分类讨论，、时分别分析函数的单调性，对m的取值范围进行进一步分类讨论，求出该函数在区间上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范围.【详解】①当时，函数外层单调递减，内层二次函数：当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，，解得：；当，即时，无意义；当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需，无解；当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，，无解.②当时，函数外层单调递增，，二次函数单调递增，函数单调递增，所以，解得：.综上所述：或.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，若大于0恒成立，则最小值大于0，若小于0恒成立则最大值小于0，注意对参数进行分类讨论，区分存在性问题与恒成立问题.13.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是；③他至少击中目标1次的概率是.其中正确结论的序号是___________。（写出所有正确结论的序号）参考答案：①③14.“f′（x0）=0”是“可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值”的条件（选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”）参考答案：既不充分又不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数在极值点的导数等于零，可得充分性成立．再由导数等于零的点不一定是极值点可得必要性不成立，从而得出结论．解答：解：“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”，不能推出“f′（x0）=0”成立，例如f（x）=|x|在x=0处有极小值为0，但f（x）在x=0处不可导，故充分性不成立．但由于导数等于零的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处得导数等于零，但函数在x=0处无极值，故由“f′（x0）=0”，不能退出“定义在R上的可导函数在x=x0处取得极值”成立，即必要性不成立，故答案为：既不充分也不必要条件．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的导数等于零的点与函数的极值点的关系，属于基础题．15.1785与840的最大约数为．参考答案：105【考点】用辗转相除计算最大公约数．【分析】用辗转相除法求840与1785的最大公约数，写出1785=840×2+105，840=105×8+0，得到两个数字的最大公约数．【解答】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．∴840与1785的最大公约数是105．故答案为10516.将正整数对作如下分组，第1组为，第2组为，第3组为，第4组为则第30组第16个数对为__________．参考答案：(17,15)根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每对数字和为，第30组每一对数字和为32，∴第30组第一对数为，第二对数为，第15对数为，第16对数为.

17.如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___

__(写出所有正确命题的编号).①当时,S为四边形;②当时,S为六边形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为等腰梯形;⑤当时,S的面积为.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值．（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由等差数列性质和频率分布直方图得，由此能求出a，b．（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300．分别求出相应的概率，由此能求出此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望【解答】解：（1）∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，∴由频率分布直方图得，解得a=0.035，b=0.025．（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300．P（X=150）=，P（X=200）=，P（X=250）=，P（X=300）=，∴X的分布列为：X150200250300P

EX=150×+200×+250×+300×=210．19.已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得?又，所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而??6558764又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…20.如图：区域A是正方形OABC（含边界），区域B是三角形ABC（含边界）．（Ⅰ）向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率；（Ⅱ）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）落在区域B的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；模拟方法估计概率．【分析】（Ⅰ）根据三角形和正方形的面积之比求出满足条件的概率即可；（Ⅱ）求出落在B内的可能，从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）向区域A随机抛掷一枚黄豆，黄豆落在区域B的概率；（Ⅱ）甲、乙两人各掷一次骰子，占（x，y）共36种结可能．其中落在B内的有26种可能，即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1）