2021-2022学年广东省惠州市东江高级中学高二数学文期末试卷含解析

2021-2022学年广东省惠州市东江高级中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．2.抛物线的焦点坐标为

A． B． C． D．参考答案：C3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】将几何体还原成直观图，可得它是一个上、下底面是直角梯形，且高等于1的直四棱柱．根据题中的数据利用柱体的体积、表面积公式加以计算，可得答案．【解答】解：将该几何体还原成直观图，可得它是一个四棱柱，四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长等于1；上、下底面是直角梯形，该梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于．由此可得它的侧面积S侧=（1+1+2+）×1=4+，∵底面积S底=（1+2）×1=，∴四棱柱的表面积S=S侧+2S底=7+，体积为V=S底h=．故选：C【点评】本题给出直四棱柱的三视图的形状，求它的表面积与体积．着重考查了三视图的认识、直棱柱的性质和柱体的表面积、体积公式等知识，属于中档题．4.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x)＜3

则不等式＜3x－15的解集为

A

(﹣∞，4）

B（﹣∞，﹣4）

C

（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D（4，﹢∞）

参考答案：D略5.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（

）．A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有2个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球参考答案：C依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任意取2个球A至少有1个黑球包含都是黑球，故至少有1个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，B至少有1个黑球包含1黑1红，至少有1个红球包含1黑1红，两者不是互斥事件，故B错误，C恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故C正确D至少有1个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故D错误，故答案为C

6.随机变量ξ～B(100，0.3)，则D(3ξ-5)等于

(

)A．62

B．84

C．184

D．189参考答案：D7.读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为()图21－3A．a＝5，i＝1

B．a＝5，i＝2C．a＝15，i＝3

D．a＝30，i＝6参考答案：D8.椭圆中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为（

）A. B. C. D.参考答案：A9.方程的实根个数是（

）

A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：C略10.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示)，则甲、乙两人得分的中位数之和是（

）A．62

B．63

C．64

D．65参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是

．参考答案：5+【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】不妨令CP=a，则DP=4﹣a，分别在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C1PC求出C1P，在直角三角形C1CA求出C1A，然后相交求周长．将周长表示为参数a的函数，由于a∈[0，4]，在这个区间上求出周长的最小值即可．【解答】解：DC上有一动点P，令CP=a，则DP=4﹣a，由于直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，∴周长S=AP+C1P+C1A=++=++=++=++其中是+可以看作平面直角坐标系中（a，0）与两点（4，﹣2）以及（0，1）两点距离和的最小值，由图形中点（a，0）恰好是过两点（4，﹣2）与（0，1）的直线与x轴的交点时，上式的值最小．由两点式知过两点（4，﹣2）与（0，1）的直线的方程是3x+4y﹣4=0，其与x轴的交点是（，0），即当a=时，+的最小值为两点（4，﹣2）与（0，1）的距离，其值为=5，故周长为5+故答案为5+12.已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是

▲

．参考答案：设与平行且与相切的直线的切点为，因为，，切点为，切线方程为，，长度的最小值就是被与截得的弦长，故答案为.

13.若函数f（x）=x2n﹣1﹣x2n+x2n+1﹣…+（﹣1）r?x2n﹣1+r+…+（﹣1）n?x3n﹣1，其中n∈N*，则f′（1）=．参考答案：0【考点】二项式定理的应用．【分析】先化简函数f（x）的解析式，再求出f′（x），从而求得f′（1）的值．【解答】解：f（x）=x2n﹣1[Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣+Cnr（﹣1）rxr+Cnnxn]=x2n﹣1（1﹣x）n，f′（x）=（2n﹣1）x2n﹣2（1﹣x）n﹣x2n﹣1?n（1﹣x）n﹣1=x2n﹣2（1﹣x）n﹣1[2n﹣1﹣（3n﹣1）x]．∴f′（1）=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于基础题．14.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．参考答案：560【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】数列{an}与数列{bn}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{cn}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，由此能求出这个新数列的前10项之和．【解答】解：等差数列2，6，10，…，190的通项为an=2+（n﹣1）?4=4n﹣2，等差数列2，8，10，14，…，200的通项为bn=2+（n﹣1）?6=6n﹣4，数列{an}与数列{bn}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{cn}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，∴cn=2+（n﹣1）?12=12n﹣10，Sn==，∴=560．故答案为：560．15.不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．参考答案：（﹣，﹣）略16.顺次连结A（1,0），B（1,4），C（3,4），D（5,0）所得到的四边形绕y轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．参考答案：17.若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则ab=

．参考答案：－7两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设命题：函数的定义域为R；命题对一切的实数恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数的取值范围。参考答案：命题：对于任意的0恒成立，则需满足

4分 因为“且”为假命题，所以至少一假 （1）若真假，则且，是空集。 （2）若假真，则且 （3）若假假，则且 所以19.已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标参考答案：设a的终点坐标为（ｍ，ｎ）则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得25ｍ2－15Oｍ＋2O9＝O解得∴a的终点坐标是（20. 已知命题：，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线．（Ⅰ）命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围．

参考答案：解：（1）当命题为真时，由已知得，解得∴当命题为真命题时，实数的取值范围是

…5分（2）当命题为真时，由解得

…7分由题意得命题、中有一真命题、有一假命题

………8分当命题为真、命题为假时，则，解得或.

…………………10分当命题为假、命题为真时，则，无解.

…………12分∴实数的取值范围是或.

…………13分

略21.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：﹣=1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2）．（1）求抛物线C1，双曲线C2的方程；（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出抛物线方程．焦点F（2，0），则，求出a，b，可得双曲线C2的方程；（2）欲证明直线GH过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，G，H的坐标，用A，B坐标表示G，H坐标，求出直线GH方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0）．【解答】解：（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴抛物线C1：y2=8x；焦点F（2，0），则，∴a=1，b=，∴双曲线C2的方程=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）把直线AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+，y3=k（x3﹣2）=，同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，∴kGH=，∴直线GH为y﹣=（x﹣2﹣），即y=（x﹣3），过定点P（3，0）．22.（本小题满分14分）已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.(1)求的极值；(2)设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．参考答案：解：(1)f(x)的定义域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a.

………………2分由题知f′(0)＝－＋a＝，所以a＝2，所以f′(x)＝＋2＝令f′(x)＝0，得x＝.

…………4分当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下