高中数学北师大版2本册总复习总复习 学业分层测评6

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128【解析】5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.【答案】B2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72016的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49【解析】∵75＝16807,76＝117649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72016＝74×504，故其末两位数字为01.【答案】A3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝()A．eq\f(2,n＋12) B．eq\f(2,nn＋1)C．eq\f(2,2n－1) D．eq\f(2,2n－1)【解析】可以通过Sn＝n2·an(n≥2)分别代入n＝2,3,4，求得a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(2,nn＋1).【答案】B4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图3­1­6)．图3­1­6则第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】C5．如图3­1­7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图3­1­7A．an＝3n－1 B．an＝3nC．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.【答案】A二、填空题6．设f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xn＝________.【解析】x2＝f(x1)＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，x4＝f(x3)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，∴xn＝eq\f(2,n＋1).【答案】eq\f(2,3)，eq\f(2,4)，eq\f(2,5)eq\f(2,n＋1)7．根据给出的数塔，猜测123456×9＋7等于________.1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111.【答案】11111118．如图3­1­8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝__________________，an＝______________.图3­1­8【解析】依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．【答案】153n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)，∴S3＝－eq\f(3,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N＋)．10．已知f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【导学号：67720232】【解】由f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，得f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,3－1＋\r(3))＋eq\f(1,32＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(1,3－2＋\r(3))＋eq\f(1,33＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3).归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(\r(3),3).证明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(1,3－x＋\r(3))＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(3x,1＋\r(3)·3x)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x,\r(3)＋3x＋1)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)＋3x＋1)＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)1＋\r(3)·3x)＝eq\f(\r(3),3).[能力提升]1．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2nC．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域，选C．【答案】C2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】A3．如图3­1­9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图3­1­9②，如此继续下去，得图3­1­9③，…，试用n表示出第n个图形的边数an＝________.①②③图3­1­9【解析】观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an＝3×4n－1.【答案】3×4n－14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin