2021-2022学年广东省揭阳市锡中学校高三数学文模拟试卷含解析

2021-2022学年广东省揭阳市锡中学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（?UB）∩A=（） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]， B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∴CUB=（﹣1，3）， ∴（CUB）∩A=（0，3）， 故选：D 【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（?ZA）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法和补集的定义，化简集合?ZA，再由交集的定义和集合子集的个数（n个元素的集合的子集为2n），即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，?ZA={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x＞0}，则集合（?ZA）∩B={1，2，3}，可得集合（?ZA）∩B的子集个数为23=8，故选：D．3.已知向量=(－2,1)，=(－1,3)，则(

)A．∥

B．⊥

C.∥(－)

D．⊥(－)参考答案：D4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A由,得，所以，所以，又，选A.5.如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设g(x)＝f[f(x)]，则函数y＝g(x)的图象为

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.函数f（x）=（x∈[1，3]）的值域为（）A．[2，3]B．[2，5]C．D．参考答案：A考点：函数单调性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：变形可得函数f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，利用导数可得函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，可得函数的最值，进而可得答案．解答：解：变形可得函数f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，求导数可得f′（x）=1﹣，令1﹣＞0，可得x＞2，故可得函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，故函数（x）的最小值为f（2）=2，最大值为f（1）或f（3）中的一个，可得f（1）=3，f（3）=，故最大值为f（1）=3，故函原数的值域为[2，3]故选A点评：本题考查函数的单调性，涉及导数法解决函数的单调性和最值，属中档题．7.直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知函数f（x）＝lnx＋tan（∈（0，））的导函数为，若使得＝成立的＜1，则实数的取值范围为（

）A．（，）

B．（0，）

C．（，）

D．（0，）参考答案：【知识点】导数的运算．L4

【答案解析】A

解析：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=lnx0+tanα，∴tanα=﹣lnx0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1，∴α∈（，）．故选：A．【思路点拨】由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=lnx0+tanα，即tanα=﹣lnx0，由0＜x0＜1，可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1，即可得出．9.下列命题中是假命题的是

（

）A．B．

C．是幂函数，且在（0，+）上递减D．，函数都不是偶函数参考答案：D10.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线和，则∥的充要条件是=

．参考答案：3因为的斜截式方程为，斜率存在为，所以直线的斜率也存在所以，即，所以要使∥，则有，解得或且，所以。12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝3，cosC，则a＝_____．参考答案：2【分析】由已知利用余弦定理即可求解a的值．【详解】∵c＝2a，b＝3，cosC，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得（2a）2＝a2+9﹣2×a×3×（），即2a2﹣a﹣6＝0，∴解得a＝2，或（舍去）．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．13.函数，其定义域为

。参考答案：答案：

14.设椭圆的焦点为，以为直径的圆与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为___________________.参考答案：由题意可知，所以。因为，所以，所以。即，即，即，解得，所以椭圆的离心率为。15.若正三棱柱ABC-A1BlC1的所有棱长都相等，D是底边A1C1的中点.则直线AD与平面所成角的正弦值为_________参考答案：16.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_____。参考答案：略17.定义平面中没有角度大于180°的四边形为凸四边形，在平面凸四边形ABCD中，，，，，设CD=t，则t的取值范围是______________.参考答案：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosA=2．∴DB=，即△ABD为等腰直角三角形，角ABD为九十度．∴角DBC为三十度，所以点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为，当A，D，C共线时，如图，在△ABC2中，由正弦定理可得解得∴设CD=t，则t的取值范围是.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．参考答案：【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）=，解得a的值，综合可得结论．【解答】解：由题意可得，当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．综上可得，a=，或a=．19.（本小题满分12分）已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l过B点且与x轴垂直，如图.(I)求椭圆的标准方程；(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH丄x轴，H为垂足，延长HG到点Q使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.参考答案：解：（Ⅰ）由题可得：e=．∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，∴=b，解得b=1．再由a2=b2+c2，可解得：a=2．∴椭圆的标准方程：．……………ks5u…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为：x=2．设G(x0，y0)(y0≠0)，于是Q(x0，2y0)，且有，即4y02=4-x02．∴直线AQ的方程为：，由

解得：即，∴．∴直线QN的斜率为：，∴直线QN的方程为：即∴点O到直线QN的距离为∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．

……………12分20.（14分）已知数列，满足数列的前项和为，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：当时，．参考答案：解析：

（Ⅰ）由得，代入整理得:,从而有，是首项为1，公差为1的等差数列，即

…（4分）（Ⅱ）

…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

…（14分）21.（本小题满分12分）函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的

底数）.（Ⅰ）若在上存在极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：当时，.参考答案：（I）；（II）证明见解析.试题解析：（Ⅰ）因为，由已知，所以，得.所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以是函数的极大值点，又在上存在极值，所以，即，故实数的取值范围是.（Ⅱ）等价于.令，则，再令，则，因为，所以，所以在上是增函数，所以，所以，所以在上是增函数，所以时，，故.令，则，因为，所以，所以，所以在上是减函数.所以时，，所以，即.考点：1.函数与导数；2.不等式的证明.【方法点晴】利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.利用导数解不等式的基本方法是构造函数，通过研究函数的单调性，从而解不等式.22.设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=