2021-2022学年山西省晋城市高平原村中学高二数学理模拟试题含解析

2021-2022学年山西省晋城市高平原村中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（）A．5 B．6 C．7 D．12参考答案：B【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】把抛物线的方程配方得到顶点式方程，找出顶点坐标进而得到b和c的值，又a，b，c，d成等比数列，得到ad=bc=6．【解答】解：把曲线方程y=x2﹣4x+7配方得：y=（x﹣2）2+3，得到顶点坐标为（2，3），即b=2，c=3，由a，b，c，d成等比数列，则ad=bc=6，故选B．2.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品 B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品 D．至多一件一等品参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从5件产品中任取2件，有C52种结果，通过所给的条件可以做出都不是一等品有1种结果，恰有一件一等品有C31C21种结果，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，做比值得到概率．【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选D．【点评】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦．3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；

③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．【分析】先求出函数的导数，因为曲线过原点，所以c=0，因为在x=±1处的切线斜率均为﹣1，所以函数在x=±1处的导数等于﹣1，再利用导数等于0求极值点，以及函数的最大值与最小值，逐一判断三个命题即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，∴c=0对函数f（x）求导，得，f′（x）=3x2+2ax+b，∵在x=±1处的切线斜率均为﹣1，∴f′（1）=1，f′（﹣1）=1，即，3+2a+b=﹣1，3﹣2a+b=﹣1解得a=0，b=﹣4∴（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]，①正确．f′（x）=3x2﹣4，令f′（x）=0，得，x=，∴f（x）的极值点有两个，②错误f（﹣2）=0，f（﹣）=，f（）=﹣，f（2）=0∴f（x）的最大值为，最小值为﹣，最大值与最小值之和等于零．③正确．故选B6.将八位数135（8）化为二进制数为（）Ａ1110101（2）Ｂ1010101（2）Ｃ1011101（2）Ｄ1111001（2）参考答案：C略7.若直线：与：互相垂直，则实数a的值为（

）

A.或6

B.或

C.

D.3或6参考答案：A略8.某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加“学代会”，这个问题中样本容量是（）A．40 B．50 C．120 D．155参考答案：C【考点】收集数据的方法．【分析】由题意，第班抽三人，四十个班共抽取120人，由此知样本容量即为120，选出正确选项即可【解答】解：由题意，是一个分层抽样，每个班中抽三人，总共是40个班，故共抽取120人组成样本所以，样本容量是120人．故选C9.设过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（﹣1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn=（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线MN的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理及抛物线的性质，求得圆心坐标，由以AB为直径的圆过点P（﹣1，2）代入即可求得t的值，求得椭圆方程，当y=0时，即可求得m和n的值，即可求得mn．【解答】解：抛物线焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1…．设直线MN的方程为x=ty+1，A、B的坐标分别为（，y1），（，y2）由，y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，x1+x2=ty1+1+ty2+1=t（y1+y2）+2=4t2+2，=2t2+1，=2t，则圆心D（2t2+1，2t），由抛物线的性质可知：丨AB丨=x1+x2+p=4（t2+1），由P到圆心的距离d=，由题意可知：d=丨AB丨，解得：t=1，则圆心为（3，2），半径为4，∴圆的方程方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=42，则当y=0，求得与x轴的交点坐标，假设m＞n，则m=3﹣2，n=3+2，∴mn=（3﹣2）（3+2）=﹣3，故选：C．10.（

）A.π B.2π C.2 D.1参考答案：A【分析】根据定积分表示直线与曲线围成的图像面积，即可求出结果.【详解】因为定积分表示直线与曲线围成的图像面积，又表示圆的一半，其中；因此定积分表示圆的，其中，故.故选A【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线。②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率③双曲线与椭圆有相同的焦点。④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切其中真命题为

（写出所有真命题的序号）.参考答案：②③④12.已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为________．参考答案：13.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．参考答案：分层抽样14.已知向量，，其中.若，则的最小值为

.参考答案：15.如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B-ACD，则其外接球的体积为

．参考答案：16.设f（x）=，则f（）+（）+f（）+…+f（）=_________．参考答案：17.在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是______________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）四棱锥中，面,为菱形，且有，,∠,为中点.（1）证明：面；（2）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：解：（1）∵为菱形，∴设为的中心，连结,则有∥又∵面，∴,∴∴垂直于面内的两条相交直线∴

(2)建立如图所示坐标系，则有

设分别是面ABE和面ABC的法向量由解得，同理可得

所以二面角的平面角的余弦值为.

略19.(本题满分14分）如图，正三棱锥ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M是A1B1的中点．（I）求证：是平面ABB1A1的一个法向量；（II）求AC1与侧面ABB1A1所成的角．参考答案：（1）如图，以点A为坐标原点，平面ABC为平面，

方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（０，０，０），B（a，０，０），B1（a，０，a），M（，０，a），C1（，，a）。所以

。……5分因为

所以，，从而平面ABB1A1.故是平面的一个法向量.

……9分（II）。因为又因为,，所以，即.

………

13分故与侧面所成的角为.

……14分略20.（14分）如图，抛物线：与坐标轴的交点分别为、、.⑴求以、为焦点且过点的椭圆方程；⑵经过坐标原点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的方程．参考答案：⑴由解得、、…………3分所以，，从而…………5分，椭圆的方程为…………6分⑵依题意设：…………7分，由得…………8分依题意得…………11分，解得…………13分所以，直线的方程是或…………14分21.已知抛物线C2：（）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆C1：（）的离心率为，且过抛物线C2的焦点.（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点引直线l交抛物线C2于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线，，且与椭圆C1相交于P、Q两点，记此时两切线，的交点为D.①求点D的轨迹方程；②设点，求的面积的最大值，并求出此时D点的坐标.参考答案：解：（1）∵抛物线的通径长为∴，得∴抛物线的方程为∵抛物线的焦点在椭圆上∴，得∵椭圆的离心率为∴∴椭圆的方程为（2）设，其中，，∵点、、三点共线∴∴（*）设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得，由，可得即同理可得，切线的方程为联立两方程解得，点坐标为①设点，则，代入（*）式得，点的轨迹方程为：②由切线和椭圆方程，消去得：∴，∴∵点到切线的距离为∴的面积为∴当，时，有最大值为此时，由（*）可得∴点坐标为

22.（本题满分15分）在中，内角所对的边分别为已知，（Ⅰ）求角的取值范围；（Ⅱ）若的面积，为钝角，求角的大小．参考答案：（Ⅰ）由得即因为所以

……………3分由正弦定理，得故必为锐角。

……………4分又,所以

……………6分因此角的取值范围为