2021-2022学年山西省忻州市磨坊学区胡家滩中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年山西省忻州市磨坊学区胡家滩中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m?γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：n∥a．∴a∥b，∵b?β，a?β，∴a∥β，∵α∩β=l，a?α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC?平面ABCD，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．2.(07年全国卷Ⅱ理)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有

(A)40种

(B)

60种

(C)100种

(D)120种参考答案：答案：B解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。3.在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足

,则的取值范围是（

） A.

B. C.

D. 参考答案：D4.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（

）A、B、

C、D、参考答案：5.（1+x）n的展开式中，xk的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+10x10）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）…（1+x+x2+…+x10）参考答案：A【考点】二项式定理的应用；排列、组合及简单计数问题．【分析】x8是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10中的、指数和等于8的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x8．而各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、…10克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示8克的方法，从而得出结论．【解答】解：x8是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10中的、指数和等于8的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x8．各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、…10克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示8克的方法．故“从重量1、2、3、…10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．使其总重量恰为8克的方法总数”，就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）”的展开式中x8的系数”，故选A．6.某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（

）（A）8，8

（B）9，7

（C）10，6

（D）12，4参考答案：B略7.设x，y满足的约束条件，则的最大值为（A）8

（B）7

（C）2

（D）1参考答案：B8.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.命题“对任意都有”的否定为（

）A.对任意都有

B.不存在使得C.存在使得

D.存在使得参考答案：D10.已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A． B．

C． D．参考答案：C【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．分析：由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数=，则不等式的解集为

．参考答案：略12.设是周期为2的奇函数，当时，，则______.参考答案：略13.（2015?上海模拟）数列{an}的通项公式an=，前n项和为Sn，则=．参考答案：【考点】：数列的极限．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：先利用裂项相消法求出Sn，再求极限即可．解：Sn=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】：本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．14.已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.参考答案：(1,0)分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点(1,2)，将点(1,2)坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为(1,0).点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.

15.已知a，bR，2a2-b2=1，则|2a-b|的最小值为

.参考答案：116.在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。己知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数），若C1与C2相交于A，B两点，则线段AB的长为

.参考答案：17.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3000）（元）月收入段应抽出

人。参考答案：25三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；参考答案：（1）；（2）证明见解析；试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.19.（12分）向量=（1，2），=（x，1），（1）当+2与2﹣平行时，求x；（2）当+2与2﹣垂直时，求x．参考答案：考点： 单位向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题： 平面向量及应用．分析： （1）利用向量共线定理即可得出．（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答： ∵向量=（1，2），=（x，1），∴+2=（1，2）+2（x，1）=（2x+1，4）2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）．（1）当+2与2﹣平行时，则3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得x=．（2）当+2与2﹣垂直时，（2x+1）（2﹣x）+12=0，化为2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣2或x=．点评： 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即，属于基础题．20.已知函数，（1）若，求实数a的取值范围；（2）求证：参考答案：（1）不等式即为。当时，，得；当时，，无解当时，，得。

…………………3分所以不等式的解集为。

…………………5分（2）证明：

…………………10分21.已知公差不为零的等差数列{an}中，，且，，成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列的前n项和Sn，求Sn.参考答案：（1）；(2)见解析。（1）设公差为d，则由，，成等比数列.得整理得，所以。（2）利用“错位相减法”求和22.已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点且与椭圆C相交于A，B两点.过点A作直线的垂线，垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由离心率列方程可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点．【详解】（Ⅰ）解：由题意可得,

解得，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）．证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）．此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）．（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），