高中数学苏教版第二章平面向量 第2章向量的减法

第2章平面向量向量的线性运算2.2.2向量的减法A级基础巩固1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是()A．a∥b B．a≠bC．|a|≠|b| D．b＝－a解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|，C不正确．答案：C2．在平行四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，eq\o(AC,\s\up13(→))＝c，eq\o(BD,\s\up13(→))＝d，则下列等式中不正确的是()A．a＋b＝c B．a－b＝dC．b－a＝d D．c－a＝b解析：根据向量加法的平行四边形法则和三角形法则知，eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))，eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))，即a＋b＝c，b－a＝d.所以A、C、D正确，B不正确．答案：B3．在边长为1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(BC,\s\up13(→))|的值为()A．1B．2\f(\r(3),2)\r(3)解析：作出菱形ABCD(如图所示)，则AC⊥BD，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))，故|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(DB,\s\up13(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up13(→))|＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：D4.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＝0\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝0\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(FC,\s\up13(→))＝0解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))，eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(DE,\s\up13(→))，eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→)).所以eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))＝0，故A成立；eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(BF,\s\up13(→))＋eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))≠0，故B不成立；eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))≠0，故C不成立；eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))－eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))≠0，故D不成立．答案：A5．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CA,\s\up13(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))|的值为______．解析：eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))，则|eq\o(CB,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝2.答案：26．化简(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→)))＋(eq\o(BA,\s\up13(→))－eq\o(QC,\s\up13(→)))＝________．解析：(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→)))＋(eq\o(BA,\s\up13(→))－eq\o(QC,\s\up13(→)))＝(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→)))＋(eq\o(PC,\s\up13(→))＋eq\o(CQ,\s\up13(→)))＝0＋eq\o(PQ,\s\up13(→))＝eq\o(PQ,\s\up13(→)).答案：eq\o(PQ,\s\up13(→))7．在平行四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________．解析：由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，BD的长，当|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|时，平行四边形ABCD为矩形．答案：矩形8．在△ABC中，D是BC的中点，设eq\o(AB,\s\up13(→))＝c，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，eq\o(BD,\s\up13(→))＝a；eq\o(AD,\s\up13(→))＝d，则d－a＝________，d＋a＝________．解析：根据题意画出图形，如图所示，d－a＝eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＝c；d＋a＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＝b.答案：cb9．若|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up13(→))|的取值范围是()A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)解析：因为|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))|，又因为|eq\o(AB,\s\up13(→))|－|eq\o(AC,\s\up13(→))|≤|eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))|≤|eq\o(AB,\s\up13(→))|＋|eq\o(AC,\s\up13(→))|，所以3≤|eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))|≤13，即3≤|eq\o(BC,\s\up13(→))|≤13.答案：C10．如图所示，四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，eq\o(BC,\s\up13(→))＝a，则eq\o(DC,\s\up13(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋cB级能力提升11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(DA,\s\up13(→))＝b，eq\o(OC,\s\up13(→))＝c，求证：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up13(→)).证明：法一：因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(DA,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→)).所以b＋c＝eq\o(DA,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→)).所以b＋c－a＝eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→)).法二：因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(DC,\s\up13(→)).所以c－a＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→)).因为eq\o(DA,\s\up13(→))＝b，所以b＋c－a＝b＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→)).12．如图所示，▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b.(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)由平行四边形法则，知a＋b＝eq\o(AC,\s\up13(→))，a－b＝eq\o(DB,\s\up13(→)).因为a＋b与a－b所在直线垂直，所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．(2)假设|a＋b|＝|a－b|，即|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|.因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD是矩形．所以a⊥b，所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.(3)不可能．因为▱ABCD的两条对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．13．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.解：设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示．则eq\o(AC,\s\up13(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s