高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式一不等式13

3.三个正数的算术­几何平均不等式1．探索并了解三个正数的算术­几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1三个正数的算术­几何平均不等式阅读教材P8～P9定理3，完成下列问题．1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a，b，c为正数，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)有()A．最小值为3 B．最大值为3C．最小值为2 D.最大值为2【解析】eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)≥3eq\r(3,\f(a,b)×\f(b,c)×\f(c,a))＝3，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)＝eq\f(c,a)，即a＝b＝c时，取等号．【答案】A教材整理2基本不等式的推广阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理3利用基本不等式求最值阅读教材P9～P9“习题”以上部分，完成下列问题．若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．设x＞0，则y＝x＋eq\f(4,x2)的最小值为()【导学号：32750012】A．2 B．2eq\r(2)C．3eq\r(2) 【解析】y＝x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3·eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(4,x2)时取“＝”号．【答案】D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]证明简单的不等式设a，b，c为正数，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥27.【精彩点拨】根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，结合不等式的性质证明．【自主解答】∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)>0，从而(a＋b＋c)2≥9eq\r(3,a2b2c2)>0.又eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥3eq\r(3,\f(1,a2b2c2))>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥3eq\r(3,\f(1,a2b2c2))·9eq\r(3,a2b2c2)＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)＋\f(1,b3)＋\f(1,c3)))(a＋b＋c)3≥81.【导学号：32750013】【证明】因为a，b，c为正数，所以有eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))＝eq\f(3,abc)＞0.又(a＋b＋c)3≥(3eq\r(3,abc))3＝27abc＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)＋\f(1,b3)＋\f(1,c3)))(a＋b＋c)3≥81，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．用平均不等式求解实际问题如图1­1­2所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝keq\f(sinθ,r2).这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？图1­1­2【精彩点拨】根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝keq\f(sinθ,r2)，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．【自主解答】∵r＝eq\f(2,cosθ)，∴E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))).∴E2＝eq\f(k2,16)·sin2θ·cos4θ＝eq\f(k2,32)(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤eq\f(k2,32)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ,3)))3＝eq\f(k2,108)，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝eq\f(1,2)，tanθ＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．∴h＝2tanθ＝eq\r(2)，即h＝eq\r(2)时，E最大．因此选择灯的高度为eq\r(2)米时，才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一题]2．制造容积为eq\f(π,2)立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容积为eq\f(π,2)，∴πr2h＝eq\f(π,2)，∴rh＝eq\f(1,2r).∴y＝30πr2＋eq\f(20,r)π＝10πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3r2＋\f(1,r)＋\f(1,r)))≥10π×3eq\r(3,3)，当且仅当3r2＝eq\f(1,r)时，即r＝eq\f(\r(3,9),3)时等号成立，此时h＝eq\f(\r(3,9),2).故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为eq\f(\r(3,9),3)米，高为eq\f(\r(3,9),2)米．[探究共研型]利用平均不等式求最值探究1利用不等式eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)求最值的条件是什么？【提示】“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．探究2如何求y＝eq\f(4,x4)＋x2的最小值？【提示】y＝eq\f(4,x4)＋x2＝eq\f(4,x4)＋eq\f(x2,2)＋eq\f(x2,2)≥3eq\r(3,\f(4,x4)·\f(x2,2)·\f(x2,2))＝3，当且仅当eq\f(4,x4)＝eq\f(x2,2)，即x＝±eq\r(2)时，等号成立，∴ymin＝3.其中把x2拆成eq\f(x2,2)和eq\f(x2,2)两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y＝eq\f(4,x4)＋x2＝eq\f(4,x4)＋eq\f(x2,4)＋eq\f(3,4)x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为eq\f(4,x4)＝eq\f(x2,4)＝eq\f(3,4)x2时x无解，不能求出y的最小值．已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．【精彩点拨】为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×eq\f(1,2)，求出最值后再开方．【自主解答】∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·eq\f(1,2).∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2＋1－x2＋1－x2,3)))eq\s\up10(3)＝eq\f(4,27).当且仅当2x2＝1－x2，即x＝eq\f(\r(3),3)时等号成立．∴y≤eq\f(2\r(3),9)，∴y的最大值为eq\f(2\r(3),9).1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝eq\f(1,2)·x(2－2x)·(1＋x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2－2x＋1＋x,3)))eq\s\up10(3)＝eq\f(1,2).虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术­几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．[再练一题]3．若2a＞b＞0，试求a＋eq\f(4,2a－bb)的最小值.【导学号：32750014】【解】a＋eq\f(4,2a－bb)＝eq\f(2a－b＋b,2)＋eq\f(4,2a－bb)＝eq\f(2a－b,2)＋eq\f(b,2)＋eq\f(4,2a－bb)≥3·eq\r(3,\f(2a－b,2)·\f(b,2)·\f(4,2a－bb))＝3，当且仅当eq\f(2a－b,2)＝eq\f(b,2)＝eq\f(4,2a－bb)，即a＝b＝2时取等号．所以当a＝b＝2时，a＋eq\f(4,2a－bb)有最小值为3.[构建·体系]平均不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(平均不等式的理解),—\x(利用平均不等式求最值),—\x(利用平均不等式证明)))1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3eq\r(3,6)B．2eq\r(2)C．12D．12eq\r(3,5)【解析】∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3eq\r(3,2x·22y·23z)＝3eq\r(3,2x＋2y＋3z)＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝eq\f(2,3)时，等号成立．【答案】C2．若a＞b＞0，则a＋eq\f(1,ba－b)的最小值为()A．0B．1C．2【解析】∵a＋eq\f(1,ba－b)＝(a－b)＋b＋eq\f(1,ba－b)≥3eq\r(3,a－b·b·\f(1,ba－b))＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋eq\f(1,ba－b)的最小值为3.故选D.【答案】D3．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．【解析】∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3)))3＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，∴y2≤eq\f(64,27)，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±eq\r(2)时取等号．∴ymax＝eq\f(8,9)eq\r(3)，ymin＝－eq\f(8,9)eq\r(3).【答案】eq\f(8,9)eq\r(3