高中数学北师大版1本册总复习总复习 学业分层测评16

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m，n，则eq\f(mn,m＋n)等于()\f(1,2a) B．eq\f(1,4a)C．2a D．eq\f(a,4)【解析】抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程x2＝eq\f(1,a)y∴2p＝eq\f(1,a)，p＝eq\f(1,2a)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(2,p)＝4a∴eq\f(mn,m＋n)＝eq\f(1,\f(1,m)＋\f(1,n))＝eq\f(1,4a).【答案】B2．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2【解析】∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.故选D.【答案】D3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，eq\o(FA,\s\up12(→))与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为()\f(21,4)p B．eq\f(\r(21),2)p\f(\r(13),6)p D．eq\f(13,36)p【解析】如图所示，设A(x0，y0)，|FB|＝m，∵∠AFB＝60°，∴|AF|＝2m，|AB|＝eq\r(3)m，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝m＋\f(p,2),y0＝\r(3)m))由抛物线的定义|AF|＝x0＋eq\f(p,2)＝m＋p∴2m＝m＋p，∴m＝p，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)p，\r(3)p))，∴|OA|＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝eq\r(\f(9,4)p2＋3p2)＝eq\f(\r(21),2)p.【答案】B4．过点P(4,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有()A．0条 B．1条C．2条 D．3条【解析】当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线方程为y－4＝k(x－4)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－4＝kx－4，,y2＝2x，))得：ky2－2y＋8－8k＝0.当k＝0时，解得：y＝4，故直线与抛物线交于点(8,4)，当k≠0时，由Δ＝4－4k(8－8k)＝0得：k＝eq\f(2±\r(2),4)，故有两条直线与抛物线相切，故符合条件的直线有3条．【答案】D5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(FC,\s\up12(→))＝0，则|eq\o(FA,\s\up12(→))|＋|eq\o(FB,\s\up12(→))|＋|eq\o(FC,\s\up12(→))|＝()A．9 B．6C．4 D．3【解析】设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(FC,\s\up12(→))＝0，得xA＋xB＋xC＝3.∴|eq\o(FA,\s\up12(→))|＋|eq\o(FB,\s\up12(→))|＋|eq\o(FC,\s\up12(→))|＝xA＋eq\f(p,2)＋xB＋eq\f(p,2)＋xC＋eq\f(p,2)＝3＋eq\f(3,2)p＝3＋eq\f(3,2)×2＝6.【答案】B二、填空题6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．【解析】由e＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.【答案】x2＝4y7．已知A(2,0)，点B为抛物线y2＝x上的一点，求|AB|的最小值为________．【解析】设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4))，所以当x＝eq\f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|的最小值为eq\f(\r(7),2).【答案】eq\f(\r(7),2)8．已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))的最小值等于________．【导学号：32550080】【解析】设P(x0，y0)则yeq\o\al(2,0)＝2x0，x0≥0，∴eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－9＝xeq\o\al(2,0)＋2x0－9，当x0＝0时，eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))min＝－9.【答案】－9三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．【解】∵椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1的短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴．设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.10．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标．【解】∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x，±6)．∵点M到准线的距离为10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)＝10，,±62＝2px，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.))，即点M的横坐标为1或9.[能力提升]1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()\f(\r(2),2) B．eq\r(2)\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)【解析】设∠AFx＝θ(0＜θ＜π)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ，则cosθ＝eq\f(1,3).又m＝2＋mcos(π－θ)，则m＝eq\f(2,1＋cosθ)＝eq\f(3,2)，所以△AOB的面积为S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|·sinθ＝eq\f(1,2)×1×(3＋eq\f(3,2))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),2).【答案】C2．如图3­2­2，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()图3­2­2A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x【解析】如图，分别过A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过点F作FF1⊥AA1于点F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于点K，则|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.【答案】C3．已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即需D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y2＝4x得x＝eq\f(1,4)，故P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点O.【证明】如图，∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋eq\f(p,2)，代入抛物线方程得y2－2pmy－p