高中数学人教A版第一章解三角形 模块综合测评

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()\f(1,a)>eq\f(1,b) \f(b,a)>1C．a2<b2 D．ab<a＋b【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，A错；eq\f(b,a)<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 \r(3)∶2∶1\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)＝2∶eq\r(3)∶1.【答案】D4．在坐标平面上，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≤－3|x|＋1))所表示的平面区域的面积为()\r(2)\f(3,2)\f(3\r(2),2)D．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B，C两点横坐标分别为－1，eq\f(1,2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－－1))＝eq\f(3,2).【答案】B5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则a的值为()A．1B．2C.eq\f(\r(3),2)\r(3)【解析】根据S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)，可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，故a＝eq\r(3).【答案】D6．(2023·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为()A．3B．4C．5D．6【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，又∵a2·a6＝aeq\o\al(2,3)，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，∴d＝－2a1，∴q＝eq\f(a3,a2)＝3.【答案】A7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－eq\f(5,2)D．－3【解析】x2＋ax＋1≥0在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))))max，∵x＋eq\f(1,x)≥eq\f(5,2)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≤－eq\f(5,2)，∴a≥－eq\f(5,2).【答案】C8．(2023·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0【解析】∵a3，a4，a8成等比数列，∴aeq\o\al(2,4)＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－eq\f(5,3)d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－eq\f(2,3)d2<0.【答案】B9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0(n∈N*)，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6＝()A．189B．186C．180D．192【解析】由an＋1＝2an，知{an}为等比数列，∴an＝2n.∴2bn＝2n＋2n＋1，即bn＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)，则()A．T>0B．T<0C．T＝0D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－eq\f(3,2)<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(ab＋bc＋ca,abc)＝eq\f(ab＋cb＋a,abc)＝eq\f(ab－c2,abc).∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝()A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(2)D．1【解析】由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∵B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，∴eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA).∵A为三角形的内角，∴sinA≠0.∴cosA＝eq\f(\r(3),2).又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6)，∴B＝2A＝eq\f(π,3).∴C＝π－A－B＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2.【答案】B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aeq\o\al(3,1)q3＝2，后三项之积aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4，两式相乘，得aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以aeq\o\al(n,1)·qeq\s\up5(\f(nn－1,2))＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，当△ABC的面积等于eq\f(\r(3),2)时，sinC＝________.【导学号：05920236】【解析】由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)AB·BCsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coseq\f(π,3)，得AC＝eq\r(3)，再由三角形的面积公式，得S＝eq\f(1,2)AC·BCsinC＝eq\f(\r(3),2)，即可得出sinC＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)14．(2023·湖北高考)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,x－y≤2，,3x－y≥0，))则3x＋y的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z，平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，))可得A(3,1)．故zmax＝3×3＋1＝10.【答案】1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.【答案】[2,8]16．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.【解析】分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－eq\f(\f(n,2)×3＋2n－1,2)＝－eq\f(nn＋1,2).当n为奇数时，第n个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2＝－eq\f(nn－1,2)＋n2＝eq\f(nn＋1,2).综上，第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).【答案】(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－eq\r(3)a)，n＝(tanB，c)，且m⊥n，求∠B的值．【解】由m⊥n得(a2＋c2－b2)·tanB－eq\r(3)a·c＝0，即(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，得a2＋c2－b2＝eq\f(\r(3)ac,tanB)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2tanB)，即tanBcosB＝eq\f(\r(3),2)，即sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以∠B＝eq\f(π,3)或∠B＝eq\f(2π,3).18．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7,求b6.【导学号：05920237】【解】∵S9＝－36＝9a5，∴a5∵S13＝－104＝13a7，∴a7∴beq\o\al(2,6)＝b5·b7＝a5·a7＝32.∴b6＝±4eq\r(2).19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【导学号：05920238】【解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；(2)当a>0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0⇒x≥eq\f(2,a)或x≤－1；(3)当a<0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.①当eq\f(2,a)>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤eq\f(2,a)；②当eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；③当eq\f(2,a)<－1，即－2<a<0时，原不等式等价于eq\f(2,a)≤x≤－1.综上所述：当a<－2时，原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,a)))；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，－1))；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞)).20．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4).(1)求△ABC的周长；(2)求cosA的值．【解】(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×eq\f(1,4)＝4.∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC＝eq\f(1,4)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),4).∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(\f(\r(15),4),2)＝eq\f(\r(15),8).∵a<c，∴A<C，故A为锐角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),8)))2)＝eq\f(7,8).21．(本小题满分12分)(2023·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．22．(本小题满分12分)某厂用