高中数学北师大版第二章解三角形（全国一等奖）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一座灯塔M原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是5eq\r(3)海里，则灯塔和轮船原来的距离为()A．2eq\r(2)海里 B．3海里C．4海里 D．5海里解析：如图，由题知AB＝10，BM＝5eq\r(3)，∠MAB＝60°.设AM＝x，在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos60°，即75＝100＋x2－20xcos60°，解得x＝5.故选D.答案：D2.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(15＋3eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(30＋30eq\r(3))m D．(15＋30eq\r(3))m解析：由正弦定理可得eq\f(60,sin45°－30°)＝eq\f(PB,sin30°)，PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)，h＝PBsin45°＝eq\f(30sin45°,sin15°)＝(30＋30eq\r(3))m．故选C.答案：C3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm \r(2)akmC．2akm \r(3)akm解析：由题意△ABC中∠C＝120°，CA＝CB＝a，由余弦定理AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2∴AB＝eq\r(3)a答案：D4.如右图，地面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB长20米，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°.则旗杆的高度为()A．20(eq\r(3)－eq\r(2))米 \f(20,\r(4－\r(2)))米\f(20,\r(4－\r(3)))米 D．10(eq\r(3)＋eq\r(2))米解析：AO＝OP·cot30°＝eq\r(3)h，OB＝OP＝h，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，即400＝3h2＋h2－2eq\r(3)h2cos60°，∴h＝eq\f(20,\r(4－\r(3)))米．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．一船向正北航行，看见正西方有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°的方向上，另一灯塔在船的南偏西75°的方向上，则这只船的速度是每小时________nmile.解析：如图所示，AB＝10，∠CBA＝∠ACB＝15°，∴AC＝10.又eq\f(OC,AC)＝sin30°，∴OC＝5.∴速度v＝eq\f(5,＝10(nmile/h)．答案：106．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“无”)解析：由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理BC＝eq\f(AB,sin∠ACB)·sin∠BAC＝eq\f(30,sin15°)·sin30°＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.答案：无三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？(eq\r(3)≈解析：在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，∴A＝15°.由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))(海里)，∴A到BC的距离为d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈海里>38海里，所以继续向南航行没有触礁危险．8．如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝30°，求旗杆的高度．解析：设旗杆高度为xm.由∠OAP＝30°，得OA＝eq\r(3)x，由∠PBO＝45°，得OB＝x.在△OAB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，∴400＝3x2＋x2－2×eq\r(3)x2×eq\f(\r(3),2)，∴x＝20.故旗杆的高度为20m．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝eq\r(3)≈，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝eq\f(sin30°,AC)·AB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝