湖南省岳阳市市中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

湖南省岳阳市市中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)在R上单调递减,且为奇函数.若f(1)=－1,则满足的x的取值范围是A．[-2,2]

B．[-1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]参考答案：D2.已知，动点满足，则动点的轨迹所包围的图形的面积等于A．

B．

C．

D．

参考答案：B略3.已知向量＝(cosa,sina),＝(cosb,sinb)，若|－|＝，则和的夹角为(

)A.60°

B.90°

C.120°

D.150°参考答案：B4.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．5.设，则＝

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=.

.

.

.参考答案：D输入；时：；时：；时：；时：输出.

选D.7.曲线在点（2，8）处的切线方程为

A．B．C．D．参考答案：B8.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为A． B． C． D．参考答案：B9.图1是某高三学生进入高中三年的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：D略10.（5分）把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得y=（sin3x﹣cos3x）的图象，这个变化可以是（）A．沿x轴方向向右平移B．沿x轴方向向右平移C．沿x轴方向向左平移D．沿x轴方向向左平移参考答案：B【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：y=（sin3x﹣cos3x）=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），故把函数y=sin3x的图象沿x轴方向向右平移个单位，即可得到y=（sin3x﹣cos3x）的图象，故选：B．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是

.参考答案：12.若集合A={x|lgx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∩B=．参考答案：（0，1]分析： 由对数函数、正弦函数的性质求出集合A、B，再由交集的运算求出A∩B．解答： 解：由lgx＜1=lg10得，0＜x＜10，则集合A={x|0＜x＜10}=（0，10），由﹣1≤sinx≤1得，集合B={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，所以A∩B=（0，1]，故答案为：（0，1]．点评： 本题考查了交集及其运算，以及对数函数、正弦函数的性质，属于基础题．13.给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是

。①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2。参考答案：答案：1，2，414.函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，2015]上具有性质P．现给出如下命题：①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数；②若f+f≥2016；③对任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]；④函数f（x）在[1，]上具有性质P．其中真命题的序号是

．参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若f（x）在[a，b]上具有性质P，则函数（x）在[a，b]上不是凸函数，进而分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：若f（x）在[a，b]上具有性质P，则函数（x）在[a，b]上不是凸函数，故：①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数，错误；②若f+f]≥f+f≥2016，正确；③对任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，正确；④[1，]?[1，2015]，故函数f（x）在[1，]上一定具有性质P．故真命题的序号为：②③④，故答案为：②③④15.若曲线f（x）=3x+ax3在点（1，a+3）处的切线与直线y=6x平行，则a=．参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1．【解答】解：f（x）=3x+ax3的导数为f′（x）=3+3ax2，即有在点（1，a+3）处的切线斜率为k=3+3a，由切线与直线y=6x平行，可得3+3a=6，解得a=1．故答案为：1．16.已知满足约束条件，那么的最大值为

.参考答案：试题分析：画出不等式组表示的平面区域如图,结合图形可以看出当动直线经过交点时,动直线在轴上的截距最小,此时的值最大,即,故应填.考点：线性规划等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组表示的平面区域如图,借助题设条件搞清楚的几何意义是动直线在轴上的截距,然后数形结合,平行移动动直线,通过观察可以看出当动直线经过时,动直线在轴上的截距最小,此时的值最大,最大值为.17.若一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥的侧面积是底面积的

倍.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）设函数.（Ⅰ）若的最小值为3，求值；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求.……4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为……10分19.已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，O为抛物线的顶点，准线与x轴的交点为M，点N在抛物线上．（1）求直线MN的斜率的取值范围，记λ=，求λ的取值范围；（2）过点N的抛物线的切线交x轴于点P，则xN+xP是否为定值？（3）在给定的抛物线上过已知定点P，给出用圆规与直尺作过点P的切线的作法．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）直线，联立y2=2px，利用判别式求直线MN的斜率的取值范围，记λ=，并求λ的取值范围；（2）设切线方程为y﹣yN=k（x﹣xN），联立y2=2px，利用判别式可得xP=﹣xN，即可确定xN+xP=0；（3）过P做x轴垂线，交x轴于点Q，在x轴负半轴上截取ON=OQ，连接NP即可．【解答】解：（1）直线，联立y2=2px得，△≥0，解得，∴．（2）设切线方程为y﹣yN=k（x﹣xN），联立y2=2px得，，∴2k2xN+p=2kyN，即，∴kyN=p，，即xN+xP=0．（3）过P做x轴垂线，交x轴于点Q，在x轴负半轴上截取ON=OQ，连接NP，即为切线．20.已知函数的最小值等于3.（1）求m的值；（2）若正数a、b、c满足，求的最大值.参考答案：（1）；（2）3.【分析】（1）分、、三种情况讨论，分析函数的单调性，可得出函数的最小值，进而可求得的值；（2）利用柯西不等式得出，由此可得出的最大值.【详解】（1）.当时，，此时，函数单调递减，则；当时，，此时，函数单调递减，则；当时，，此时，函数单调递增，则综上所述，，解得；（2）由（1）可得，且、、均为正数，由柯西不等式得，即，.当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用柯西不等式求三元代数式的最值，考查分类讨论思想以及计算能力，属于中等题.21.已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(3)若，求证：．参考答案：（1）；（2）；（3）详见解析.【分析】（1）先求出，再用求导的方法求出单调区间，极值，从而求出最值；（2）问题转化为在恒成立，方法有二：解法一：对分类讨论，求出；解法二：分离出参数，构造函数，转化为与函数的最值关系；（3）应用二次求导，先确定，要证，转为证，利用函数的单调性证转为证的大小关系，构造函数，通过研究函数的最值，从而得到结论.【详解】解：(1)函数的定义域为，，

若，记，则

的单调减区间为，单调增区间为.

的最小值为

（2）在上单调递增,当且仅当在区间恒成立，即在区间恒成立，

(I)

若，由（1）知在定义域上单调递增，满足条件

(II)若，令，所以取有，不合题意综上所述，若在上单调递增，则的取值范围是

(2)法二：记，则记,则在上单调递减(根据洛比塔法则)

.

（3）

若，，∴在上单减，当时，在（0，1）上单增；当时，在（1，+）上单减；令，则其中令当时，在单减，在（0，1）上单增，又在上单调递减【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查分类讨论数学思想，合理构造函数是解题的关键，属于难题.22.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a﹣b）（sinA﹣sinB）=csinC﹣asinB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a＞b，且△ABC的面积为，求的值．参考答案：考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题： 解三角形．分析： （1）△ABC中，由条件利用正弦定理求得a2+b2﹣c2=ab．再利