高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 公开课奖

1．3导数在研究函数中的应用1．函数的单调性与导数1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．一般地，可导函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)有如下关系：导函数的符号不等式的解集函数的单调性单调区间f′(x)＞0(a，b)单调递增递增区间f′(x)＜0(a，b)单调递减递减区间f′(x)＝0—常函数—想一想：(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间内单调递增，反过来也成立吗？解析：不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间内单调递增的充分不必要条件．(2)利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？解析：函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．2．函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内，(1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；(2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(D)A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(D)A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0，2)解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递减区间为(0，2)．故选D.3．已知函数f(x)＝eq\r(x)＋lnx，则有(A)A．f(2)<f(e)<f(3)B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2)D．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))＋eq\f(1,x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．函数y＝4x2＋eq\f(1,x)的单调增区间是(C)A．(0，＋∞)B．(－∞，1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(1，＋∞)2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(A)A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．f(x)≥03．下列区间中，使函数y＝x·cosx－sinx为增函数的区间是(B)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))B．(π，2π)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(5π,2)))D．(2π，3π)解析：f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－x·sinx，当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.故选B.4．函数f(x)＝sinx－2x的递减区间是________．解析：因为f′(x)＝cosx－2＜0，所以f(x)在R上为减函数．答案：(－∞，＋∞)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．(2023·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(D)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：f′(x)＝k－eq\f(1,x)，由已知得f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)恒成立，故k≥eq\f(1,x)，因为x>1，所以0<eq\f(1,x)<1，故k的取值范围是[1，＋∞)．6．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(C)解析：由f′(x)的图象可知，x<0或x>2时，f′(x)>0；0<x<2时，f′(x)<0，所以，函数f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在(0，2)内单调递减．7．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，则a的取值范围是________．解析：由f′(x)＝a(3x2－1)＝3aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))＜0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，知a＞0.答案：(0，＋∞)8．(2023·武汉调研)若函数y＝－eq\f(4,3)x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞0)．若f(x)的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．解析：f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，由题知x＝0或x＝4为方程f′(x)＝0的两根，∴0＋4＝4＝eq\f(6（k＋1）,3k).∴k＝1.10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．解析：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－eq\r(1＋a2)，x2＝a－1＋eq\r(1＋a2)，其中x1<x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘↗∵a≥0