浙江省温州市育才中学2022年度高二数学文上学期期末试卷含解析

浙江省温州市育才中学2022年度高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是（）A．对任意的x∈R，log2x＜0 B．对任意的x∈R，log2x≥0C．不存在x∈R，log2x≥0 D．存在x0∈R，log2x0≥0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可．【解答】解：命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是“对任意x∈R，log2x≥0”．故选：B．2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】首先计算出基本事件的个数，再计算出重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数，然后用古典概型概率计算公式直接计算求解即可.【详解】所有重卦中随机取一重卦基本事件的个数为，重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数为，因此在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是，故本题选C.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，正确计算出每个事件包含的基本事件的个数是解题的关键.3.如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）=在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：根据导函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上为增函数．故﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；故1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；根据函数（﹣2，+∞）上为增函数，故y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③正确；根据y=f（x）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确，故选：A．【点评】本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．4.与直线关于x轴对称的直线方程为

（

）A、

B、C、

D、参考答案：A5.椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆的周长为2π，A、B两点的坐标分别为，，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．可得==?|F1F2|，即可得出．【详解】由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．如图所示，设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．则==?|F1F2|，∴4a=|y2﹣y1|×2c，∴|y2﹣y1|==．故选：C．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.椭圆的焦距是2，则m的值是（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、椭圆的焦点在x轴上，②、椭圆的焦点在y轴上，利用椭圆的几何性质可得m﹣2=1或2﹣m=1，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其焦距是2，即2c=2，则c=1；但不能确定焦点的位置，分两种情况讨论：①、当椭圆的焦点在x轴上时，有m＞2，有m﹣2=1，解可得m=3；②、当椭圆的焦点在y轴上时，有m＜2，有2﹣m=1，解可得m=1；综合可得：m=3或m=1，故选B．7.命题“若A=B，则A?B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后由原命题和逆否命题是等价命题，逆命题和否命题是等价命题来判断逆否命题和否命题的真假．【解答】解：原命题：“若A=B，则A?B”是真命题，∵原命题和逆否命题是等价命题，∴逆否命题一定是真命题；逆命题：“若A?B，则A=B”是假命题，∵逆命题和否命题是等价命题．∴否命题一定是假命题．故选B．8.已知命题p：x2＞x是x＞1的充分不必要条件；命题q：若数列{an}的前n项和Sn=n2，那么数列{an}是等差数列．则下列命题是真命题的是（）A．p∨（￢q） B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∨（￢q）参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题p：x2＞x，解得x＞1或x＜0，即可判断出真假．命题q：若数列{an}的前n项和Sn=n2，则n=1时，a1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，解出即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：对于命题p：x2＞x，解得x＞1或x＜0，因此x2＞x是x＞1的必要不充分条件，因此是假命题．命题q：若数列{an}的前n项和Sn=n2，则n=1时，a1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也成立．∴an=2n﹣1，因此数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，因此是真命题．∴只有P∨q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、等差数列的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （）A．

B． C． D．参考答案：C10.函数f（x）=x3﹣ax+100在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：若f（x）=x3﹣ax+100在区间（1，+∞）内是增函数，则f′（x）=3x2﹣a≥0在区间（1，+∞）恒成立，即a≤3x2，∵3x2≥3，∴a≤3，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列式子：，，，，…，归纳得出一般规律为．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的加数与式子编号之间的关系，易得等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和，根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式为：故答案为：12.圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是

．参考答案：外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，与半径和与差的关系判断即可．【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，即（x+1）2+（y+1）2=4，表示以C1（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0，即（x﹣3）2+（y+1）2=4，表示以C2（3，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于4，等于半径之和，故两个圆外切．故答案为外切．13.已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围．参考答案：[﹣3，5]【考点】直线的斜率．【分析】由题意画出图形，求出直线l过A、B时c的值，数形结合得答案．【解答】解：如图，把A（﹣1，﹣2），B（2，3）分别代入直线l：x+y﹣c=0，得c的值分别为﹣3、5．∴若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为[﹣3，5]．故答案为：[﹣3，5]．14.下列命题中：（1）若且为假命题，则均为假命题；（2）“”是“”的充分不必要条件；（3）函数的最小值是2；（4）“偶数能被2整除”是全称命题；（5）“若，则”的逆否命题为真命题。正确的命题为（填序号）。参考答案：(2)(4)(5)15.曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为____________.参考答案：16.抛物线的准线方程为

▲

．参考答案：17.已知抛物线Г：x2=2y，过点A（0，﹣2）和B（t，0）的直线与抛物线没有公共点，则实数t的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】抛物线的简单性质．【分析】设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=0的交点，则当过点A（0，﹣2）和B（t，0）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围．【解答】解：设过A的直线方程为y=kx﹣2，与抛物线方程联立得x2﹣2kx+4=0，△=4k2﹣16=0，k=±2，求得过A的抛物线的切线与y=0的交点为（±1，0），则当过点A（0，﹣2）和B（t，0）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设△的内角所对的边分别为,且,,.(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求△的面积.参考答案：(Ⅰ)由余弦定理,得,

又,,,所以……4分,解得,.……6分

(Ⅱ)在△中,……9分因此.……12分19.

在数列中，.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为；

（3）设，求不超过的最大整数的值.参考答案：（1）证明：由已知得：，即所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，……2分

从而

……4分（2）解：……5分所以

……………①

，，……………②由①②，得．所以．

……………9分（3），……11分所以，不超过的最大整数为2013．

………………14分略20.（本题满分12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（Ⅱ）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.参考答案：解

设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）==.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)==.21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=AB，∠ABC为直角，PA⊥BC．点D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若F在线段AC上，当为何值时，AD∥平面PEF？请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：BC⊥AD，AD⊥PB，即可证明AD⊥平面PBC；（2）当AM∥EF，即=时，可得平面ADM∥平面PEF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC为直角，PA⊥B