浙江省杭州市第12中学2022高三数学理期末试题含解析

浙江省杭州市第12中学2022高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是()A．(2，＋∞)

B．2，＋∞)C．(3，＋∞)

D．3，＋∞)参考答案：B2.已知奇函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域

为，则不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4） B．（4，+∞） C．（0，4] D．（﹣∞，4]参考答案：D【考点】充要条件．【分析】由x＞2得到x2＞4，根据充分不必要条件的概念得：a≤4．【解答】解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．4.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ+μ的值为（） A． B． C．1 D．﹣1参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义． 【专题】计算题；运动思想；平面向量及应用． 【分析】利用向量转化求解即可． 【解答】解：由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：=． 则λ+μ的值为：． 故选：A． 【点评】本题考查向量的几何意义，考查计算能力． 5.已知数列满足,前项的为,关于叙述正确的是(

)A.都有最小值

B.都没有最小值C.都有最大值

D.都没有最大值参考答案：A6.已知矩形ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC的外接球的体积为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：求出几何体的外接球的半径，然后求解额居前的体积即可．解答： 解：几何体的外接球就是棱柱的外接球，也就是扩展的正方体的外接球，正方体的边长为1，对角线的长度就是外接球的直径，所求外接球的体积为：=．故选：B．点评：本题考查几何体的外接球的体积的求法，关键是球的半径的求解，考查计算能力．7.已知两条直线，，两个平面，，给出下面四个命题：①， ②，，③， ④，，其中正确命题的序号是（

）．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③参考答案：C①若，，则，①正确；②若，，，则或，异面，②错误；③若，，则或，③错误；④若，，，则，④正确．综上，正确命题的序号为①④，故选．8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A．

B．

C． D．参考答案：A9.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限参考答案：D试题分析：由纯虚数的定义可得,解之得,则复数在复平面内对应的点在第四象限,故应选D.考点：复数的有关概念与几何意义.10.设的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （

）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知均为锐角.,则的大小关系是

.参考答案：c>b>a

12.已知椭圆方程为（）,F(-c,0)和F(c,0)分别是椭圆的左

右焦点.①若P是椭圆上的动点,延长到M,使=,则M的轨迹是圆；②若P是椭圆上的动点,则；③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；④若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是；⑤点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.以上说法中，正确的有

参考答案：①③④13.已知函数及，若对于任意的，存在使得恒成立且，则称为“兄弟函数”已知函数,

是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数在区间上的最大值为

参考答案：214.在的展开式中，项的系数为

▲

．参考答案：略15.已知直线与圆相交于A，B两点，若，则k=______．参考答案：或【分析】由已知条件结合弦长，运用勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求得值【详解】解：圆圆心为，半径为3，在中，，即圆心到直线的距离为1，由点到直线的距离公式得，，所以或；故答案为或；【点睛】本题考查了直线与圆，弦长，点到直线的距离公式，属于简单题．16.已知函数满足：，，则

.

参考答案：1617.用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成▲个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．参考答案：216略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．19.如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点，（1）求椭圆E的标准方程；（2）若斜率为k的直线l过点，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．参考答案：（1）；（2）证明见解析．（1）因为，所以，所以①，又椭圆过点，所以②，由①②解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可设直线，联立消，整理得，设，，则有，，易知．故为定值．20.（本小题满分13分）如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，∥，，，。（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ）证明：因为是直径，所以

………………1分，因为平面，所以

………………2分，因为，所以平面

………………3分因为，，所以是平行四边形，，所以平面

………4分，因为平面，所以平面平面

………………5分（Ⅱ）依题意，

………………6分，由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立……8分如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，则，，，……………9分设面的法向量为，，即，…………10分设面的法向量为，，即，

……………12分由图知二面角的平面角为钝角二面角的余弦值为。

……13分21.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如图，在Rt△ABC中，,BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，．(Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(Ⅱ)若，求EC的长．参考答案：（Ⅰ）设线段的中点为，连接，点是圆心，

…………..2分又平分.又.是△的外接圆的切线

…………..5分(Ⅱ)由（Ⅰ）知是圆的切线,，.

……………8分又由（Ⅰ）知..

………………10分22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．（Ⅰ）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去参数t，可得直线l的普通方程；由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，由得曲线C