河南省许昌市禹州方山高级中学2022年高三数学文测试题含解析

河南省许昌市禹州方山高级中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由题，故选D.考点：等比数列前n项和2.函数y=的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性以及单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵函数y=，则该函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除A、C．当x＞0时，函数为y=ln|x|，在（0，+∞）上单调递增，故排除D，故选：B．3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a5+a8=12，则S9等于（）A．18 B．36 C．72 D．无法确定参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质和已知可得a5的值，由求和公式可得S9=9a5，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a2+a5+a8=3a5=12，解得a5=4，由求和公式可得S9===9a5=9×4=36故选B4.设，为正实数，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

（

）A．

B．

C． D．参考答案：D略7.一个物体的底座是两个相同的几何体，它的三视图及其尺寸（单位：ｄｍ）如图所示，则这个物体的体积为(

)Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.参考答案：B略8.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（）A．12 B．14 C．16 D．20参考答案：B【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，，根据椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，可求点P到另一个焦点F2的距离【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∵椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6∴6+|PF2|=20∴|PF2|=14故选B．【点评】本题的考点是椭圆的定义，主要考查椭圆定义的运用，属于基础题．9.函数y＝的图象大致是()参考答案：D10.已知，，且，则向量与向量的夹角是

（）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立.若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是_________；若按甲、乙、甲…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是_________.参考答案：

（3分）；（2分）12.已知是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=

．参考答案：6则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴又由定义，且，∴13.设命题p：;命题q:,若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围.参考答案：略14.已知函数f（x）=lnx，0<a<b<c<1，则，，的大小关系是

参考答案：15.已知向量，，则在方向上的投影等于

参考答案：16.已知数列满足，则的值为 参考答案：517.已知,则参考答案：【知识点】平方关系；二倍角正弦公式.【答案解析】解析：解：把两边平方可得，即，故答案为.【思路点拨】把原等式两边平方可得结果.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数大于2的人去参加甲游戏，搓出点数为1或2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（2）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.参考答案：（1）；（2）见解析

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列K5K6依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=（1）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ=【思路点拨】（1）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．19.（10分）【选修4-4︰坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程是（t是参数）,以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为。（1）求圆心C的直角坐标;（2）由直线上的点向圆C引切线,求切线长的最小值。参考答案：（1）x2+y2-x+y=0（2）2【知识点】选修4-4

参数与参数方程N3（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），即ρ2=2ρcosθ?-2ρsinθ?，

∴化为普通方程是x2+y2-x+y=0；

（2）∵圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0，

∴圆心为（，-），半径R为1；

∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴直线l上的点P（t，t+4）向圆C

引切线长是==∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2．【思路点拨】（1）利用极坐标公式，把圆C的极坐标方程化为普通方程；

（2）求出圆C的圆心与半径R，利用直线l的参数方程，计算直线l上的点P向圆C引切线长的最小值即可．20.在四棱锥中，平面，,.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值；(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面？说明理由.参考答案：【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）(Ⅲ)存在，E为线段PB的中点，AE⊥平面PBC．解：(Ⅰ)在四棱锥中，因为平面，平面,所以.因为，所以.因为,所以平面.因为平面,所以.

………4分(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.不妨设,则.则.所以，.设平面的法向量.所以.即.令，则.所以所以所以与平面所成角的正弦值为.

………8分（Ⅲ）（法一）当E为线段PB的中点时，AE⊥平面PBC．如图：分别取PB，PC的中点E，F，连结AE，DF，EF．∴EF∥BC，且．∵AD∥BC，且，∴AD∥EF，且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∴AE∥DF．∵PD=CD，∴三角形PCD是等腰三角形．所以.因为平面，所以.因为,所以平面.所以平面.即在线段上存在点,使平面.

（法二）设在线段上存在点,当时，平面.设，则.所以.即.所以.所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.若平面，则.即.解得.所以当，即为中点时，平面.

………12分【思路点拨】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PCD，然后证明BC⊥PC；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求出设平面PBC的法向量，然后求解PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）法一：当E为线段PB的中点时，AE⊥平面PBC．分别取PB，PC的中点E，F，连结AE，DF，EF．证明四边形AEFD是平行四边形．然后证明AE⊥平面PBC．即可推出线段PB上是否存在点E，使AE⊥平面PBC．法二，利用空间直角坐标系，通过向量共线，求出点的坐标即可．【典型总结】本题考查空间点的坐标的求法，直线与平面所成的角的求法，直线与平面垂直的判断与性质的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21.已知长方形ABCD中，AB=1，，现将长方形沿对角线BD折起，使，得到一个四面体A-BCD，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A-BCD体积最大时，求二面角A-CD-B的余弦值.参考答案：解:

(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD?AB⊥AC.

由于AB=1,

AD=BC=,AC=由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC2所以12＋a2＝()2?a＝1

所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1

(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.

过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系(如图)，则易知，，显然，面BCD的法向量为.

设面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．

因为，，所以令y＝，得n＝(1，，2)，

故二面角A－CD－B的余弦值即为

(另用传统法求二面角的余弦值也可.)

22.（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求和的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差，其中.参考答案：(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,

考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：∵甲班学生的平均分是85，

∴.

……………1分

∴.

……………2分

∵乙班学生成绩的中位数是83，

∴.

……………3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为.

……5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，

……………6分

乙班成绩在9