三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)(曲老师推荐用)_第1页
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曲老师推荐中考数学专题之:三角形的“四心"所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、统称为三角形的中心。一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示性 质:外心到三顶点等距,即OAOBOC。外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB.3.A1BOC,B1AOC,C1AOB。2 2 2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质:性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2。三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23AEAFBFBDCDCE；AEBFCD三角形的周长的一半。1 1 14.BIC90

,CIA90 B，AIB90 C。2 2 2三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。1性 质：顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CHAB。ABH 的垂心为CBHCAACHB。四、三角形的“重心定 义三角形三条中线的交点叫重心ABC重心一般用字母G表示。性 质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。2。重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2即GA2GDGB2GEGC2GF重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x

x x xA B C,y

y y y A B C。G 3 G 31）GAGBGC0;1 1（2）PG

(PAPBPC，53

BGC

S

SAGB

S 。3 ABC五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA,则点O为ABC的垂心。结论O为△ABCOA2BC2则点O为ABC的垂心。结论3：若点G满足GAGBGC0，则点G为ABC的重心.1结论4：若点G为ABC1OG (OAOBOC)3则点G为ABC

OB2

OC2AB2,结论5I为ABC所在的平面内一点，并且满足aIAbIBcIC02（其中abc为三角形的三边I为△ABC:若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOBBAOBOCCBOCAC，则点O为ABC的外心

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