高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试 学业分层测评1

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)【解析】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝eq\r(82－32)＝eq\r(55)，∴V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝3eq\r(55)π.【答案】C2．如图1­7­23所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是()图1­7­23\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).【答案】A3．某几何体的三视图如图1­7­24所示，则它的体积是()图1­7­24A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2π\f(2π,3)【解析】由几何体的三视图，可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2π,3).【答案】A4．某几何体的三视图(单位：cm)如图1­7­25所示，则该几何体的体积是()【导学号：10690032】图1­7­25A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3【解析】该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V＝V三棱柱＋V长方体＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．【答案】B5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) B．6∶2eq\r(3)∶eq\r(3)C．6∶2eq\r(3)∶3 D．3∶2eq\r(3)∶6【解析】设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝eq\r(3)，求得斜边上的高CD＝eq\f(\r(3),2)，旋转所得几何体的体积分别为V1＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2×1＝π，V2＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π，V3＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\f(\r(3),2))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(1,2)π.V1∶V2∶V3＝1∶eq\f(\r(3),3)∶eq\f(1,2)＝6∶2eq\r(3)∶3.【答案】C二、填空题6．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝eq\r(52－32)＝4，∴其体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×32×4＝12π.【答案】12π7．(2023·西安高一检测)棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______．【解析】设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S，eq\f(V上,V下)＝eq\f(\f(1,3)S＋\r(S·4S)＋4S·h,\f(1,3)4S＋\r(4S·9S)＋9S·h)＝eq\f(7,19).【答案】eq\f(7,19)8．已知某个几何体的三视图如图1­7­26，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．图1­7­26【解析】此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20cm，S在底面的射影为CD中点E，SE＝20cm，VS－ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·SE＝eq\f(8000,3)cm3.【答案】eq\f(8000,3)cm3三、解答题9.如图1­7­27所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．图1­7­27【解】V六棱柱＝eq\f(\r(3),4)×42×6×2＝48eq\r(3)(cm3)，V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48eq\r(3)＋22π)(cm3)．10．如图1­7­28，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).图1­7­28(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积．【解】(1)证明：由题设知，BB1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BDeq\o(⊆,\s\up0(/))平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))B1C1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))BC，∴A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1Beq\o(⊆,\s\up0(/))平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD­A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD­A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.[能力提升]1．(2023·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1­7­29，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图1­7­29\f(1,8) \f(1,7)\f(1,6) \f(1,5)【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的体积V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)，故选D.【答案】D2．如图1­7­30，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为()图1­7­30A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4【解析】设棱台的高为h，S△ABC＝S，则Seq\s\do10(△A1B1C1)＝4S，∴Veq\s\do10(A1－ABC)＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，Veq\s\do10(C－A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do10(△A1B1C1)·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴Veq\s\do10(B－A1B1C)＝V台－Veq\s\do10(A1－ABC)－Veq\s\do10(C－A1B1C1)＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴体积比为1∶2∶4.【答案】C3．如图1­7­31，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．图1­7­31【解析】设AC＝a，CC1＝b，则BD2＝DCeq\o\al(2,1)＝a2＋eq\f(1,4)b2，∴eq\b\lc\(\rc\)(a2＋\f(1,4)b2)×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(a2＋\f(1,4)b2)＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).【答案】8eq\r(3)4．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．【解】如图所示，连接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，∴VA­BEFC＝Veq\s\do10(A­B1EFC1)＝eq\f(1,2)Veq\s\do10(A­BB1C1C).又Veq\s\do10(A­A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do10(△A1B1C1)·h，Veq