高中数学苏教版第二章平面向量 第2章平面向量基本定理

第2章平面向量向量的坐标表示平面向量基本定理A级基础巩固1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线 B．共线C．相等 D．不确定解析：因为a＋b＝3e1－e2，且c＝6e1－2e2，所以c＝2(a＋b)．所以a＋b与c共线．答案：B2．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up13(→))＝()\f(1,2)(a－b) B．－eq\f(1,2)(a－b)C．－eq\f(1,2)(a＋b) \f(1,2)(a＋b)解析：如图所示，因为eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝2eq\o(AD,\s\up13(→))，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．答案：D3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．答案：A4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋λeq\o(CB,\s\up13(→))，则λ＝()\f(2,3) \f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使eq\o(AD,\s\up13(→))＝teq\o(AB,\s\up13(→))，则eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))＝t(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))．所以eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋t(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up13(→))＋teq\o(CB,\s\up13(→)).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))解之得λ＝－eq\f(1,3).答案：C5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线．因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.答案：36．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3e1＋4e2，,b＝2e1＋3e2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e1＝3a－4b，,e2＝3b－2a.))答案：3a－4b3b－7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为___________．解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)8．△ABC中，eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up13(→))，EF∥BC，交AC于点F.设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，试用a，b表示eq\o(BF,\s\up13(→)).解：依题意作图，如图所示．因为eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up13(→))，EF∥BC，所以eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up13(→)).所以eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up13(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝－eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up13(→))＝－a＋eq\f(1,5)b.9．向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))的终点A，B，C在一条直线上，且eq\o(AC,\s\up13(→))＝－3eq\o(CB,\s\up13(→))，设eq\o(OA,\s\up13(→))＝p，eq\o(OB,\s\up13(→))＝q，eq\o(OC,\s\up13(→))＝r，则以下等式成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q B．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)q D．r＝－q＋2q解析：由eq\o(AC,\s\up13(→))＝－3eq\o(CB,\s\up13(→))，得eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝－3(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→)))，2eq\o(OC,\s\up13(→))＝－eq\o(OA,\s\up13(→))＋3eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up13(→))，即r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)q.答案：A10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝meq\o(AM,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))＝neq\o(AN,\s\up13(→))，则m＋n的值为________．解析：设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，则eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，又eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＋eq\o(MO,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＋λeq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up13(→))－eq\o(AM,\s\up13(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up13(→))＋λeq\o(AN,\s\up13(→))＝eq\f(1－λ,m)a＋eq\f(λ,n)b.根据平面向量基本定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－λ,m)＝\f(1,2)，,\f(λ,n)＝\f(1,2)))消去λ，得m＋n＝2.答案：2B级能力提升11．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用a，b表示c.解：设c＝xa＋yb，则7e1－4e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2.由平面向量基本定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))所以c＝a－2b.12.如图所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且eq\o(OM,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up13(→))与eq\o(BM,\s\up13(→))相交于点P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up13(→)).解：因为eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\o(MP,\s\up13(→))，eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(ON,\s\up13(→))＋eq\o(NP,\s\up13(→))，设eq\o(MP,\s\up13(→))＝meq\o(MB,\s\up13(→))，eq\o(NP,\s\up13(→))＝neq\o(NA,\s\up13(→))，则eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OM,\s\up13(→))＋meq\o(MB,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)a＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,3)a))＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb.eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(ON,\s\up13(→))＋neq\o(NA