高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试【市一等奖】

推理与证明章末测试题（时间：120分钟满分：150分）学号：______班级：______姓名：______得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以＞0”，你认为这个推理（）A．大前题错误B．小前题错误C．推理形式错误D．是正确的2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca．证明过程如下：因为a，b，c∈R，所以a2+b2＞2ab，b2+c2＞2bc，c2+a2＞2ca，又因为a，b，c不全相等，所以以上三式至少有一个“”不成立,所以将以上三式相加得2（a2+b2+c2）＞2（ab+bc+ca），所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca．此证法是（）Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法与综合法并用 Ｄ．反证法3．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn·(x\o\al(2,n)＋3),3x\o\al(2,n)＋1)（n＝1,2，…），试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为（）A.对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B.存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1C.存在正整数n，使xn≤xn＋1D.存在正整数n，使（xn－xn－1）（xn－xn＋1）≥04.因为a,b∈R+,a+b≥2,……大前提,……小前提所以x+≥2.……结论以上推理过程中的错误为（）A．大前提B．小前提C．结论D．无错误5．某同学证明不等式eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5)的过程如下：要证eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5)，只需证eq\r(7)＋eq\r(5)＞eq\r(11)＋1，即证7＋2eq\r(7×5)＋5＞11＋2eq\r(11)＋1，即证eq\r(35)＞eq\r(11)，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．综合法，分析法结合使用D．其他证法6．类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（）①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②④B．①③C．②④D．①③④7.用反证法证明“如果a>b，那么＞”假设的内容应是（）A.=B.＜C.=且＜D.=或＜8．如图1所示是一患黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是（）图1图1A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大9．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=（n∈N*）时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1 B． C． D．10．已知f（x）=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值一定（）A.大于零B.等于零C.小于零D.正负都有可能11．已知,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状,a1a2a5………………记A（m，n）表示第m行的第n个数,则A（10,12）=（）A.（）93 B.（）92 C.（）94 D.（）11212．利用数学归纳法证明：不等式1+++…+＜n（n≥2，n∈N+）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A.1项B.项C.项D.项二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．14．将下面用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤补充完整：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．15．用数学归纳法证明不等式1+++…+＞成立，起始值至少应取.16．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…所以根据上述规律，第n个等式为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知a＞0，，求证：18．（12分）求证n3+（n+1）3+（n+2）3能被9整除.19．（12分）已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）具有的类似的性质，并加以证明.AA1B1BC1CMNP20．（12分）如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点AA1B1BC1CMNP（1）求证：；（2）在任意中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.21．（12分）已知A，B是椭圆C：2x2+3y2=9上两点，点M的坐标为（1，0）.⑴当A，B两点关于x轴对称，且△MAB为等边三角形时，求AB的长；⑵当A，B两点不关于x轴对称时，证明：△MAB不可能为等边三角形.22.（12分）在数列{an}中，an＝（－1）n＋1·n2，观察下列规律：1＝1；1－4＝－3＝－（1＋2）；1－4＋9＝6＝1＋2＋3；1－4＋9－16＝－10＝－（1＋2＋3＋4）；……试写出数列{an}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．（拟题高英军）推理与证明章末测试题选择题2.B5.B9.D提示：1.0的平方等于0.3．根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选4.根据基本不等式可知，大前提正确，而小前提，没有条件x∈R+，故小前提错误，故选B.5．选B.根据分析法的思维特点可判定出来.6．对于②，在空间垂直于同一直线的两条直线可能相交或异面，对于④，在空间一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条可能异面，故选B.7.＞的反面为=或＜.8．由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．9．由于当n=1时，等式右边结果为10.故选D.10．f（x）为奇函数，增函数，a＞-b，c＞-a，b＞-c得f（a）＞f（-b）=-f（b），f（c）＞f（-a）=-f（a），f（b）＞f（-c）=-f（c），得f（a）+f（b）+f（c）大于零.11．由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；

②每一行都有2n-1个项，所以第10行有2×10-1=19项，得到第10行第一个项为100-19+1=82，所以第12项的项数为82+12-1=93；所以A（10，12）=a93=（）93，故选A．12.用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，

则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，

所以由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，

共（2k+1-1）-2k+1=2k项，故选D．填空题13．1：814．a2＋b2－2ab≥0（a－b）2≥0（a－b）2≥015．816．13+23+33+43+…+n3=[]2提示：15．根据题设，得＞，解得n＞7，故起始值至少应取8.16．由题知13=12；13+23=（）2；13+23+33=（）2；13+23+33+43=（）2；…所以13+23+33+43+…+n3=[]2.三、解答题17．证明：由已知及a＞0，可知b＞0，要证，可证＞1即证1+a-b-ab＞1，只需证a-b-ab＞0，即＞1，即，这是已知条件，显然成立，所以原不等式得证.18．证明：①当n=1时，13+（1+1）3+（1+2）3=36能被9整除，结论成立.②假设n=k（k≥1，且k∈N*）时成立，即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除；当n=k+1时，（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3=k3+（k+1）3+（k+2）3+9k2+27k+27=k3+（k+1）3+（k+2）3+9（k2+3k+3）能被9整除所以n=k+1时结论也成立.由①②可知原命题成立.19．解：双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．下面给出证明：

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且-＝1又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=得kPM•kPN=•=，①

将y2=x2-b2，n2=m2-b2代入①式，得kPM•kPN=（定值）20.（1）证明：因为所以；（2）解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角.因为，所以上述的二面角为，在中，Þ，由于，所以有.21．解：⑴设A（x0，y0），B（x0，-y0），因为△MAB为等边三角形，所以|y0|=|x0-1|，又点A（x0，y0）在椭圆上，所以，消去y0，得3x-2x0-8=0，解得x0=2或x0=-，当x0=2时，|AB|=；当x0=-时，|AB|=.⑵根据题意可知，直线AB斜率存在.设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为N（x0，y0），联立，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0由△＞0得2m2-9k2-6＜所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=,所以N（-，），又M（1，0），假设△MAB为等边三角形，则有MN⊥AB，所以kMN×k=-1，即×k=-1，化简得3k