上海杨浦凤城高级中学2022年度高一数学文期末试题含解析

上海杨浦凤城高级中学2022年度高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，若，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．锐角三角形参考答案：B2.已知二次函数y=2x2－1在区间[a,b]上有最小值－1，是下面关系式一定成立的是（

）

A．a≤0<b或a<0≤b

B．a<0<b

C．a<b<0或a<0<b

D．0<a<b或a<b<0参考答案：A3.（5分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（） A． y=（）2 B． y= C． y= D． y=参考答案：B考点： 判断两个函数是否为同一函数．专题： 证明题．分析： 逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数．解答： 选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项B满足条件；选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；故选B．点评： 本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域、值域、对应关系完全相同时，才是同一个函数．4.已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=3x+x3﹣5，则函数y=f（x）的零点的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C5.下列问题中，应采用哪种抽样方法（）①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；④有甲厂生产的300个篮球，抽取50个入样．A．分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样B．分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样C．抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样D．抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法参考答案：C【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．【解答】解：总体容量较小，用抽签法；总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样；总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法；总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样，故选C．【点评】本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6.（5分）若直线经过A（0，4），B（，1）两点，则直线AB的倾斜角为（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 120°参考答案：D考点： 直线的倾斜角．专题： 直线与圆．分析： 由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案．解答： ∵直线经过A（0，4），B（，1）两点，∴，设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tan，得α=120°．故选：D．点评： 本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题．7.已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，知（3a﹣1）x+4a递减，logax递减，且（3a﹣1）×1+4a≥loga1，从而得，解出即可．【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，所以有，解得，故选A．【点评】本题考查函数单调性的性质，属中档题．8.下列判断正确的是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cosA的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出．【解答】解：∵cos（π+A）=﹣cosA=﹣，即cosA=，∴sin（+A）=cosA=．故选：B．【点评】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是

．参考答案：[]【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．12.已知集合，，且，则实数的取值范围是_______________．参考答案：13.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足，则=．参考答案：-4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】先根据AM=3，点P在AM上且满足，求||的值，再根据M是BC的中点，计算，最后计算即可．解：∵AM=3，点P在AM上且满足，∴||=2∵M是BC的中点，∴=2=∴=?=﹣=﹣4故答案为﹣4【点评】本题考查了向量的加法与向量的数量积的运算，属基础题，必须掌握．14.函数恒过定点

。参考答案：(3，4)略15.已知函数对于满足的任意，，给出下列结论：①；

②；③．

④其中正确结论的序号是___________.

参考答案：②③16.已知向量与的夹角为，且，，则

．参考答案：17.已知事件在矩ABCD的边CD上随意取一点P，使得△APB的最大边是AB发生的概率为，则=．参考答案：【考点】几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得=，从而=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知动圆经过点和（Ⅰ）当圆面积最小时，求圆的方程；（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，求圆的方程。参考答案：（Ⅰ）要使圆的面积最小，则为圆的直径，------2分圆心,半径-----------4分所以所求圆的方程为：.------------6分（Ⅱ）法一：因为，中点为，所以中垂线方程为，即

----------8分解方程组得：，所以圆心为．------10分根据两点间的距离公式，得半径，------------11分因此，所求的圆的方程为.-------12分法二：设所求圆的方程为，根据已知条件得----------6分-------------------------11分所以所求圆的方程为.----------12分略19.

已知函数（1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（2）讨论函数零点的个数．参考答案：解：（1）由得，变形为，即

-------------2分而，

当即时，所以．

--------------6分（2）由可得，变为

略20.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，点E在CD上，且，将沿AE折起，使得平面平面ABCE（如图）.G为AE中点.（1）求证:DG⊥平面ABCE；（2）求四棱锥D-ABCE的体积；（3）在线段BD上是否存在点P，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.参考答案：(1)见证明；(2)(3)【分析】（1）证明，再根据面面垂直的性质得出平面；（2）分别计算和梯形的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C作交于点，过点作交于点，连接，可证平面平面，故平面，根据计算的值.【详解】（1）证明：因为为中点，，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）在直角三角形中，易求,则．所以四棱锥的体积为．

（3）过点C作交于点，则．过点作交于点，连接,则．又因为，平面平面,所以平面．同理平面．又因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．所以在上存在点，使得平面，且.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质与判定，线面平行的性质与判定以及四棱锥的体积，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.计算柱锥台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高，如果给出的几何体不规则，需要利用求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法.21.(18)（本小题满分12分）已知.

（I）

求sinx－cosx的值；

（II）

（Ⅱ）求的值参考答案：(1)

(2)解：（Ⅰ）由

即

………4分

又

故

…7分（Ⅱ）

……12分22.某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，