2022湖南省郴州市坦坪中学高三数学文联考试卷含解析

2022湖南省郴州市坦坪中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1 B．﹣ C．1，﹣ D．1，参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e1﹣1=1，∴f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值即可．【解答】解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；当x≥0时，f（x）=ex﹣1；∴f（1）=e1﹣1=1．若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；当a≥0时，ea﹣1=1，∴a=1；当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．所以a的所有可能值为：1，．故答案为：C2.设随机变量服从正态分布，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D.试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，所以，，所以.故应选D.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.3.对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4x

B．y＝logxC．y＝logx

D．y＝log2x参考答案：D4.已知是圆内一点，则过点最长的弦所在的直线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为(

) A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C． D．参考答案：D考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4，利用圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，可得圆心到直线的距离d=≤4，进而得出答案．解答： 解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4．∵圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，∴圆心到直线的距离d=≤4，∴0≤m≤，故选：D．点评：本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．6.已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为.若点M在C上，且，M到原点的距离为，则C的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由直角三角形的性质可得，又,，∴C的方程为，故选C.

7.（5分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（

）

A．B．C．D．参考答案：A【考点】：几何概型．计算题．【分析】：欲求硬币不与任何一条平行线相碰的概率，利用几何概型解决，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，只须求出线段OM长度，最后利用它们的长度比求得即可．解：为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M；线段OM长度的取值范围就是[0，a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P=（a﹣r）÷（a﹣0）=故选A．【点评】：本题考查古典概型，考查几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题．8.已知,则下列不等式中总成立的是

A B

C.

D

参考答案：A略9.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数有f′(x)+f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式exf(x)＞1的解集为（

）A．(－∞，0)

B．(0，+∞)

C.(－∞，e)

D．(e，+∞)参考答案：B令g(x)=exf(x)，故g(x)=exf(x)+exf′(x)=ex|f(x)+f′(x)|，由f′(x)+f(x)＞0可得，g(x)＞0，故函数g(x)在R上单调递增，又由f(0)=1得g(0)=1，故不等式exf(x)＞1的解集为(0，+∞)，故选B.10.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：，其中两个小球同色共有种可能，，根据古典概型概率公式可得所求概率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列{an}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=

．参考答案：90考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，由此能求出结果．解答： 解：∵在等差数列{an}中，a2=6，a5=15，∴，解得a1=3，d=3，∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90．故答案为：90．点评：本题考查数列的若干项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为

参考答案：〔1，2〕13.执行右边的程序框图，则输出的结果是

.

参考答案：略14.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是

参考答案：函数的图象向左平移个长度单位后变为，其图象关于原点对称，则因为，所以当时，有最小值，最小值为15.已知函数若，则

.参考答案：16.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．参考答案：9考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…am﹣am﹣1=2（m﹣1），累加由等差数列的求和公式可得am，验证可得．解答：解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…am﹣am﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得am﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴am=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题．17.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。参考答案：解析：（Ⅰ）∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（Ⅱ）当时，，，，双曲线为，设P，则，，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。19.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于x的不等式的解集包含[3,4]，求m的取值范围．

参考答案：（1）；（2）．（1）①当时，，由解得；②当时，，由解得，∴；③当时，，由解得，∴．综上可得的解集是．（2）∵的解集包含，∴当时，恒成立．原式可变为即，∴即在上恒成立，显然当时，取得最小值，即的取值范围是．20.已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）当a＝2时，，当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈?；当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4，即等价于，所以由题设得在x∈（0，2）上恒成立，又由x∈（0，2），可知，，所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．21.（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：（1）；（2）AB2=BE?BD-AE?AC.参考答案：（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD?BE=BA?BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE?BD-AE?AC．(1)连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA….5分(2)由(1)知，BD?BE=BA?BF又△ABC∽△AEF∴即：AB?AF=AE?AC∴BE?BD-AE?AC=BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2….10分22.已知椭圆的右焦点为，M点的坐标为，O为坐标原点，是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）经过点作直线AB交椭圆C于A、B两点，求面积的最大值；（Ⅲ）是否存在直线l交椭圆于P、Q两点，使点F为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，可得，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）由构成三角形，所以不垂直轴.设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，联立直线与椭圆的方程，消元可得，首先，有.同时，所以，

令，则，，