高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 市一等奖2

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．过拋物线y2＝4x的焦点作直线交拋物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，那么|AB|等于()A．9 B．10C．7 D．5解析：由拋物线方程知：p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p＝8＋2＝10，故选B.答案：B2．拋物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为拋物线的顶点，则()A．通径长为8，△AOB的面积为4B．通径长为8，△AOB的面积为2C．通径长为4，△AOB的面积为4D．通径长为4，△AOB的面积为2解析：|AB|＝2p＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)×1×4＝2.答案：D3．若拋物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线和拋物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为()A．6 B．2或8C．1或9 D．10解析：设点坐标为(x0,6)，则62＝2px0，∴x0＝eq\f(18,p)，又x0＋eq\f(p,2)＝10，∴eq\f(18,p)＋eq\f(p,2)＝10，∴p＝2或p＝18，∴x0＝9或x0＝1，故选C.答案：C4．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是()A．相交 B．相离C．相切 D．不确定解析：如图，取AF中点C，作CN⊥y轴，AM⊥y轴，可得|CN|＝eq\f(1,2)|AF|.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|＝________.解析：由于点P到x轴的距离为12，可知点P的纵坐标为12，∴点P的横坐标x＝eq\f(y2,16)＝eq\f(12×12,16)＝9.由抛物线的定义知|PF|＝x＋eq\f(p,2)＝9＋4＝13.答案：136．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＋p＝8.设直线AB的方程为y＝x－eq\f(p,2)，联立y2＝2px，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．正三角形AOB的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上．若S△OAB＝36eq\r(3)，试确定抛物线的方程．解析：由于正△AOB的A、B两点在抛物线y2＝2px上，依对称性知∠AOX＝30°，其中X为线段AB与x轴的交点．设OA所在直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.方法一：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x，,y2＝2px))得A(6p,2eq\r(3)p)，B(6p，－2eq\r(3)p)．则|AB|＝4eq\r(3)p.由S△AOB＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3)p)2＝12eq\r(3)p2＝36eq\r(3)，得p2＝3，p＝eq\r(3).故抛物线的方程为y2＝2eq\r(3)x.方法二：设|OA|＝a，由S△AOB＝eq\f(\r(3),4)a2＝36eq\r(3)知a＝12.即|OA|＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))x))＝12，得x＝±6eq\r(3)，y＝eq\f(\r(3),3)×(±6eq\r(3))＝±6.由于A(x，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以A(6eq\r(3)，6)．由点A(6eq\r(3)，6)在y2＝2px上得p＝eq\r(3).故抛物线的方程为y2＝2eq\r(3)x.8.已知直线l经过拋物线y2＝4x的焦点F，且与拋物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解析：拋物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.(1)设A(x0，y0)，则|AF|＝|x0＋1|＝4，∴x0＝3，∴y0＝±2eq\r(3)，∴A(3，±2eq\r(3))．(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，易知k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2)＞4，综上所述，|AB|≥4.∴线段AB的最小值为4.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB经过一个定点．证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.∵OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.∴yeq\o\al(2,1)·yeq\o\al(2,2)＝4p2x1·x2＝4p2(－y1·y2)，∴y1·y2＝－4p2.∴x1·x2＝4p2，结论成立．(2)∵yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,y1＋y2).则直线AB的方程为y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)．∴y＝eq\f(2p,y1＋y2)·x－eq\f(2p,y1＋y2)·eq\f(y\o\al(2,1),