四、材料力学正应力分析

弹性杆件横截面上的正应力分析第4章1、与应力分析相关的截面图形几何性质

2、平面弯曲时梁横截面上的正应力

3、斜弯曲时梁横截面上的正应力4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力第4章弹性杆件横截面上的正应力分析

5、基于最大正应力的强度计算

与应力分析相关的截面图形几何性质1、横截面面积

常见的横截面有：

矩形——A=h×b;

圆形——A=πR²;bhR2、静矩、形心

截面面积对轴的矩称为静矩：

图形几何形状的中心称形心：

3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径

惯性矩----

惯性半径----

极惯性矩------

与应力分析相关的截面图形几何性质4、常见形体的惯性矩、极惯性矩

a、矩形截面的惯性矩

b、圆形截面的惯性矩C、圆环截面的惯性矩

与应力分析相关的截面图形几何性质bhdyzyzdyzDdd、圆形截面的极惯性矩

e、圆环截面的极惯性矩

4、形心主惯性矩

图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩，

与应力分析相关的截面图形几何性质例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩Iy;Iz;

解：由负面积法,

Iz=Hb³/12–hb³/12=b³(H-h)/12;Iy=bH³/12–bh³/12=b(H³-h³)/12;

与应力分析相关的截面图形几何性质bhzyH

小鸟

与应力分析相关的截面图形几何性质

与应力分析相关的截面图形几何性质

1、平面弯曲的概念

梁的对称面：梁的横截面具有

对称轴，所有相

同的对称轴组成

的平面。形心主轴平面：所有相同的形心主轴组成的平面。

平面弯曲：所有外力都作用在梁

的同一主轴平面内，

梁的轴线在该平面中

弯曲成曲线。

平面弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的BC段。截面上只有正应力。横向弯曲：梁的横截面上既有剪力也有弯矩，如梁的AB段。因而其上既有正应力也有切应力。

平面弯曲时梁横截面上的正应力CBl/5FAl/5MFFFl/5FD3l/5FQFAyFDy++-xx

2、纯弯曲时梁的正应力分析纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤：

平面弯曲时梁横截面上的正应力应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程

平面弯曲时梁横截面上的正应力MM

中性轴a、应用平面假设确定应变分布

1）弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。

2）梁弯曲时的平面假设梁变形后周边表面的横向线仍然是直线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截面在变形前后仍然保持为平面，只是相对转过一个角度dθ。

3）沿梁横截面高度方向正应力表达式：

平面弯曲时梁横截面上的正应力b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布

由虎克定律

将上述应变公式带人得：

σ

=Eε

即：正应力与高度坐标成线性关系

σ=-Ey/ρ其中ρ

表示该点的曲率半径，它如何表达呢？

平面弯曲时梁横截面上的正应力

c、应用静力方程确定正应力公式由

由

平面弯曲时梁横截面上的正应力yxzΔAzyσxMz

将带人公式

得正应力公式：

正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；与截面的惯性矩成反比。应力分布如图：

平面弯曲时梁横截面上的正应力yxzΔAzyσxMz

d、中性轴在横截面上的位置中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。

e、最大正应力公式与弯曲截面模量

对于横截面上正应力最大值

其中Wz=Iz/ymax称为弯曲截面系数；

平面弯曲时梁横截面上的正应力σmaxσmax

弯曲截面系数:Wz=Iz/ymax;*矩形截面的弯曲截面系数:Wz=bh²/6;*圆形截面的弯曲截面系数:Wz=πd³/32;*圆环截面的弯曲截面系数

平面弯曲时梁横截面上的正应力

f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式

公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。3、弯曲正应力公式的应用与推广

a、梁上最大正应力位置的判定

需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素；

b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。

平面弯曲时梁横截面上的正应力

平面弯曲时梁横截面上的正应力例题4-2受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.试求最大弯矩截面B上1、2两点的正应力。CBqAl/2l/2hbh/4zy21

平面弯曲时梁横截面上的正应力解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置

MZB=ql²/8;2、计算正应力1点的正应力：

为拉伸应力2点的正应力：

为压缩正应力CBqAFqM

hbh/4zy21l/2l/2xx++-

平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPA20015096.4zy50150例题4-3丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数：

试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。l/2l/2

平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPAl/2FqM20015096.4zy50150解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。

MzB=Fpl/4=16kNm;2、计算最大弯矩截面上最大正应力

最大拉伸正应力：

位置在梁的下边缘处

最大压缩正应力：

位置在梁的上边缘处。思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限度地发挥了材料的强度潜力？xMZσmax+σmaxˉFpl/4l/2++-xx

斜弯曲时梁横截面上的正应力1、产生斜弯曲的加载条件

当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲称斜弯曲。如图：

FP2FP1变形平面合力作用平面yz

斜弯曲时梁横截面上的正应力2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力

当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：其最大正应力：

公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。

yzCyzCσmax+σmaxˉ

斜弯曲时梁横截面上的正应力圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：

例4-4图示矩形截面梁已知：b=90mm;h=180mm;Fp1=800N;Fp2=1650N;l=1m;试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。解：1、确定梁截面上的内力分量，梁的内力如图：最大弯矩在固定端处。

Mymax=-Fp1l;Mzmax=-Fp2l;2、确定梁根部截面上最大正应力作用点：如图,A点处是两拉应力相加；B点处是两压应力相加。3、计算最大正应力:

斜弯曲时梁横截面上的正应力FP1FA1MAyFQMyFP2FA2MAzFQMzxxxxxxzz2FP!lFP2lMy⊕⊕⊕⊕⊕⊖⊖⊖⊖⊖Mz⊕⊕⊕⊖⊖⊖AABByy----σmax+σmaxˉ纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。

将载荷向截面形心简化得到两个内力分量：FNx≠0;Mz≠0;其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力FPFPFPFPMzMz弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力例4-5图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。试求：1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力；2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？800N800N800N800N21mm弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力解：1、计算开口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图；横截面上弯矩：横截面上正应力（如图所示）

800N800N800N800NMzcσmax+

σmaxˉ

弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力课外练习：4-1；4-5；4-9；4-142、计算闭口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图：横截面上只有拉应力。比较两种形式链环的正应力大小相差近22倍。400N800N800N800N400Nc

课堂练习4-1图示矩形截面柱，已知：外加载荷FP以及横截面尺寸。试求ABED截面上四个角点上的正应力。弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力

偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。解：1、确定截面上的内力分量，在ABDE横截面将柱截开由力的平移定理将力平移到横截面的形心处，内力如图：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力

2、判断最大应力作用位置：在内力作用下A、E分别是最大压应力和拉应力作用点3、计算ABDE各点的应力，作图：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力基于最大正应力的强度计算1、基于最大正应力的强度条件:σmax≤[σ]2、强度计算的主要步骤：a、计算杆件的约束力；b、作杆件的内力图；c、根据内力、横截面、材料等因素确定可能的危险点；d、应用强度条件进行强度计算：

对于塑性材料：σmax≤[σ];

对于脆性材料：σmax+≤[σ]+;

σmaxˉ

≤[σ]ˉ；基于最大正应力的强度计算例4-6图示圆轴AB段是空心的，已知D=60mm;d=40mm，尺寸和外力，[σ]

=120MPa；试分析圆轴强度是否安全。3kN5kN2.93kN5.07kNACBD3001000400基于最大正应力的强度计算解：1、作内力图2、判断可能的危险截面是C、B横截面；3、计算危险截面上的最大正应力：

4、对轴进行强度校核：

轴的强度是安全的。2.93kN5kN5.07kN3kN2.93kN3kN-2.07kNFQ-0.9kNm1.17kNmMACBD+-++基于最大正应力的强度计算2FpFp6001400ACB例4-7由铸铁制作的悬臂梁尺寸如图，FP=20kN,材料的许用应力试校核梁的强度。20015096.4zy50150c基于最大正应力的强度计算解：1、作内力图2、判断可能的危险截面是A、B横截面；3、计算危险截面上的最大正应力：

4、对梁进行强度校核：

梁的强度是安全的。-20kN40kN20kN20kN-20kNFq-12kNm16kNmMACB16kNmxMZxMZB截面应力分布A截面应力分布+-+-σmaxˉσmaxˉσmaxσmax基于最大正应力的强度计算例4-8图示行车梁由32a热轧工字钢制成，已知起吊时重物与y轴之间的夹角α=5°;[σ]=160MPa

，试校核梁的强度。80kN80kN4