2022北京丰台区第三中学高三数学理期末试题含解析

2022北京丰台区第三中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示是一个几体体的三视图，其侧视图是一个边长为的等边三角形，俯视图是由两个等边三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：A略2.如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A3.已知，且，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值即可求得k的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（8，10），化目标函数z=kx+y为y=﹣kx+z，∵目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，∴﹣k＞2，则k＜﹣2．∴k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．故选：C．5.已知双曲线的焦距为，抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知函数是周期为4的函数，其部分图象如右图，给出下列命题：①是奇函数；

②的值域是；③关于的方程必有实根；④关于的不等式的解集非空.其中正确命题的个数为(

)A．4

B．3

C．2

D．1

参考答案：B略7.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像

（

）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：A略8.（5分）已知复数z1=1﹣i，z2=2+i，则复数对应的点位于复平面内的(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D∵z1=1﹣i，z2=2+i，∴=（1﹣i）2（2+i）=（1﹣2i+i2）（2+i）=2﹣4i，因为点（2，﹣4）位于第四象限，故对应的点位于复平面内的第四象限，故选D9.已知命题q：?x∈R，x2＞0，则（）A．命题￢q：?x∈R，x2≤0为假命题 B．命题￢q：?x∈R，x2≤0为真命题C．命题￢q：?x∈R，x2≤0为假命题 D．命题￢q：?x∈R，x2≤0为真命题参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定，再进行判断即可．【解答】解：∵命题q：?x∈R，x2＞0，∴命题￢q：?x∈R，x2≤0，为真命题．故选D．10.已知命题：函数在R上为增函数，：函数在R上为减函数，则在命题：，：；：；：；其中为真命题的是：（

）

A．和

B.和

C、

和

D、和参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x，y满足，若2x﹣y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，由2x﹣y≥m恒成立，即求2x﹣y的最小值，设z=2x﹣y，利用其几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，当经过图中的A时z最小，由，得A（）．所以z的最小值为2×﹣=﹣所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]；故答案为：（﹣∞，﹣]．12.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为__________．参考答案：45略13.已知与之间的一组数据如右图所示，则与的回归直线方程必过定点

.0123135-a7+a

参考答案：（1.5,4）略14.从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两数之和的概率是

.参考答案：略15.函数是常数，的部分图象如图所示，则

参考答案：16.已知数列{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*，则a2013=

；a2014=

．参考答案：1;0.考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列之间的递推关系即可得到结论．解答： 解：∵2013=504×4﹣3，满足a4n﹣3=1∴a2013=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，满足a4n﹣1=0∴a2014=a1007=0，故答案为：1；

0．点评：本题考查数列的递推式在解题中的合理运用，根据递推关系推导项之间的联系是解决本题的关键．17.已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为

（附：,)参考答案：由已知得，故三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（1）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（2）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据题意，对f（x）求导，可得f′（x）=ex﹣1+，进而可得f′（1）的值，由互相垂直的直线斜率之间的关系可得f′（1）×（﹣）=﹣1，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，将f（x）≥g（x）转化为[xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣]≥0，可以设h（x）=xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣，对其求导可得h′（x）=（x+1）ex﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]，（x≥1），再设k（x）=ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1，求出k（x）的导数．分情况讨论h（x）≥0是否成立，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=ex﹣1﹣，则其导数f′（x）=ex﹣1+，则有f′（1）=1+，若曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，则有f′（1）×（﹣）=﹣1，解可得a=；（2）根据题意，由f（x）≥g（x）可得：f（x）﹣g（x）≥0，即（ex﹣1﹣）﹣[ax2+x﹣（a﹣1）]=[xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣]≥0，设h（x）=xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣，（x≥1），若f（x）≥g（x），必有h（x）≥0，h′（x）=（x+1）ex﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]，（x≥1），设k（x）=ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1，则k′（x）=ex﹣1﹣a，①、当a≤1时，k′（x）≥0对x≥1成立，又由k（1）=0，故k（x）≥0，即h′（x）≥0成立，又h（1）=0，故有h（x）≥0；②、当a＞1时，由k′（x）=0，解可得x=1+lna＞1，当x∈（1，1+lna）时，k′（x）＜0，又由k（1）=0，故k（x）＜0，即h′（x）＜0成立，又h（1）=0，故h（x）＜0，不合题意；综上可得：a的取值范围是（﹣∞，1]．19.某教学研究机构准备举行一次使用北师大数学教材研讨会，共邀请50名一线教师参加，各校邀请教师人数如下表所示：学校ABCD人数2015510（Ⅰ）从50名教师中随机选出2名，求2人来自同一学校的概率；（Ⅱ）若会上从A，B两校随机选出2名教师发言，设来自A校的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考答案：（I）从50名教师随机选出2名的方法数为

……3分选出2人来自同一校的方法数为故2人来自同一校的概率为：

……6分（II）∵，，．……9分012P∴的分布列为……10分∴．

……12分20.（本小题满分13分）定义在上的函数同时满足以下条件：①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②是偶函数；③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数＝的解析式；(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围．.参考答案：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………1分由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………2分又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－<x2－1即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x

…………6分设M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝

……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

……………10分∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3于是有m>2e－e3为所求．……………13分21.已知函数。(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)把的图像向右平移个单位后，在是增函数，当最小时，求的值.参考答案：解：．（I)

…4分∴

…6分(II)

…8分

单调递增区间为周期为，则，，

…10分当最小时，。

…12分22.已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R．（1）当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；（2）当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；（3）当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1＜x2)．求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2．参考答案：（1）2x－y－2＝0；（2）当a≤0时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．0＜a＜时，f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．当a＝时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．a＞时，f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．（3）证明见解析．试题分析：（1）求切线方程，可根据导数的几何意义，求出导数，计算，切线方程为，化简即可；（2）研究单调性，同样求出导函数＝，x＞0．然后研究的正负，实质只要研究函数式的正负，必须分类讨论，确定分类的标准是：，，在时，按，，分类；（3）要证明此不等式，首先要考察的范围与关系，由已知求出，因此是方程的两根，，粗略地估计一下，由于，因此有，由此可知f(x)在上为减函数，从而有f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)，这里，正好可证明题设结论．当a＝时，因为f′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当a＞时，由f′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上