2022北京知春里中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022北京知春里中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B2.函数y=cos2(x﹣)的一条对称轴为（）A．x=﹣ B．x= C．x= D．x=﹣参考答案：D【考点】弧长公式；二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x﹣）+，由2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程，k取值为﹣1即可得出．【解答】解：∵==cos（2x﹣）+，∴令2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程为：x=+，k∈Z，∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣．故选：D．3.已知（为常数）在上有最大值为，那么此函数在上的最小值是（

）(A)

(B)

(C)

(D)2

参考答案：A略4.已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示，则的图像为（

）

参考答案：B5.若集合，，则=A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是(▲)

A．27

B．30

C．33

D．36参考答案：B7.在中，若三个角A,B,C成等差数列，三条边成等比数列，则一定是(

)A、钝角B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形参考答案：D略8.命题“?x0∈R，+lnx0≤0”的否定是（）A．?x∈R，+lnx＞0 B．?x∈R，+lnx≥0C．?x0∈R，+lnx0＜0 D．?x0∈R，+lnx0＞0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，“?x0∈R，+lnx0≤0”的否定是?x∈R，+lnx＞0，故选：A【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．9.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，则a∥b B．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βC．若a∥b，b∥α，α∥β，则a∥β D．若a⊥α，a⊥β，b⊥β，则b⊥α参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、若a∥α，b∥β，则a、b关系不定，不正确；B、若a?α，b?β，a∥b，则α、β平行或相交，不正确；C、若b∥α，α∥β，则b∥β或b?β，又a∥b，则a∥β或a?β，不正确；D、若a⊥α，a⊥β，则α∥β，又b⊥β，则b⊥α，正确．故选D．【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查线线位置关系，属于中档题．10.若为内一点，且，在内随机撒一颗豆子，则此豆子落在内的概率为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知P为△ABC所在平面内一点，且，则_____参考答案：【分析】将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．【详解】解：设，则根据题意可得，，如图所示，作，垂足分别为，则又，，故答案为：。【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．

12.在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是

．（结果精确到0.01）参考答案：0.3013.在△ABC中，sin2C=sinAsinB+sin2B，a=2b，则角C=

.

参考答案：由正弦定理知，所以，所以.14.函数，其中，对，恒有，若，则的取值范围是

．参考答案：15.设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，CRA=．参考答案：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），?RA=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．16.若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围

.参考答案：略17.已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°．（1）求BC的长；（2）若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中）．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）求出∠ACB，利用正弦定理直接求出BC即可．（2）通过直角三角形，利用两角和的正弦函数求出sin75°，然后求出这棵桃树顶端点C离地面的高度．【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°，又∠DBC=75°则∠ACB=75°﹣45°=30°由正弦定理得到，，将AB=4代入上式，得到BC=4（米）（2）在△CBD中，∠CDB=90°，BC=4，所以DC=4sin75°，因为sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，则DC=2+2，所以CE=≈3.70+3.464≈7.16米．答：BC的长4米；这棵桃树顶端点C离地面的高度7.16米．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦函数，三角形的求法，考查计算能力．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.（1）求，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求证数列的前项和．参考答案：(1)

(2)

试题分析：（1）∵点都在函数的图象上，∴，

（1分）∴，

（2分）又，∴.

（4分）（2）由（1）知，，20.已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：.参考答案：（1）（2）证明过程详见解析【分析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，.设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明即可.【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，圆与直线相切，.，由解得，椭圆的方程为.（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，，即.设，，直线，的斜率分别为，则，.，即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.（本小题满分10分）已知正项数列的前n项和为，且（1）求、；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？参考答案：（1）由已知条件得：又有，解得（2）由得即，，。所以数列是公差为2的等差数列。（3）由（2）知。。易知数列是公差为2，首项为的等差数列。所以数列的前n项的和当时有最小值。即数列的前9项的和以及前10项的和最小值是-90。另解：注意到数列是公差为2的递增等差数列，且，故数列的前9项的和以及前10项的和最小值是-90。22.（本题满分12分）已知函数f（x）＝（x－a）2（x－b）（a，b∈R，a<b）.（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.参考答案：(I)解：当a=1,b=2时，由f’(x)=(x-1)(3x-5),得f’(2)=1;又∵f(2)=0