数学思想在中学数学教学中的重要性及应用 毕业论文

题

目：数学思想在中数学教学中的重要性及应用作

者：指导老师：师范学院

学院系数学教育专业093年制2班年4月23日主要内容简介：“授人以鱼，不如授人以渔在中学数学教学中，结合新课改要求，老师在教学中不仅要教会学生基本的数学概念、公式等知识点，更要教会学生自主解决问题的方式方法数学思想是数学知识数学技能和数学方法的本质体现是形成数学能力以及数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能和方法的灵魂。数学思想是数学的灵魂，数学方法是使这一灵魂得以展现的途径。在初中数学教学过程中，要用数学思想指导基础知识教学，在基础知识教学中培养思想方法。因为数学思想方法的教学是学生形成良好的认知结构的纽带是由知识转化为能力的桥梁是培养数学意识形成优良思维素质的关键主要类型有转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想。一般的，数学思想在解题中的应用还要结合原理性的数学解题思想，原理性的数学解题思想主要包括：系统思想、辩证思想、运动变化思想、建模思想、审美思想。

注：1.语、成绩由指导老师填写。2.语及总评意见应包括学术价值、实际意义、达到水平、学术观点和论证有无错误。数学思想在中数学教中的重要性及应用摘要

授人以鱼，不如授人以渔中学数学教学中，结合新课改要求，老师在教学中不仅要教会学生基本的数学概念公式等知识点更要教会学生自主解决问题的方式方法。数学想是数学知识、数学技能和数学方法的本质体现，是形成数学能力以及数学意识的桥梁灵活运用数学知识能和方法的灵魂。主要类型有：转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想。一般的，数学思想在解题中的应用还要结合原理性的数学解题思想理性的数学解题思想主要包括：系统思想、辩证思想、运动变化思想、建模思想、审美思想。关键词：数学思想；数学解题思想；数形结合；系统思想一、数学思想在教中的重性（一）新课改中的数学思想新课标提出初中数学的基础知识主要是代数几何中的性质概念则公式、公理定理以及由其深层次内容所反映出来的数学思想和方法”这表明数学思想和数学教学方法在本质上是相互联结的教学中数学思想时刻都能得到体现和运用。长期以来，传统的数学教学中，只注重知识的传授，却忽视知识形成过程中的数学思想方法的现象非常普遍它严重影响了学生的思维发展和能力培养随着教育改革的不断深入来越多的教育工作者是一线的教师们充分认识到中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知;另一方面更要通过数学知识这个载体挖掘其中蕴含的数学思想方法更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识。只有数学思想的形成，才能使学生受益终生正所谓“授之以鱼不如授之以渔”不管他们将来从事什么职业和工作数学思想方法作为一种解决问题的思维策略都将随时随地有意无意地发挥作用。（二数学思想在教学中的重要性数学思想是数学的灵魂数学方法是使这一灵魂得以展现的途径在初中数学教学过程中要用数学思想指导基础知识教学在基础知识教学中培养思想方法因为数学思想方法的教学是学生形成良好的认知结构的纽带是由知识转化为能力的桥梁是培养数学意识形成优良思维素质的关键。由于数学思想的存在使得数学知识不是孤立的学术知识点不能用刻板的套路解决各种不同的数学问题有充分理解掌握数学思想在各种问题上的运用，才能更有效地把知识运用得灵活。由此可见，要培养学生的数学能力，就必须重视数学思想和方法的训练培养自主学习的能力得学生更容易理解和更容易记忆数学知识让学生领会特定的事物本质属性借助于基本的数学思想和方法理解可能遇到的其他类似问题，有效促进学生数学思维能力的展。现代数学教育理论认为学不是教出来的不是简单地模仿出来的，而是靠学生自主探索研究出来的要让学生掌握数学思想和方法应将数学思想和方法的训练视作教学内容的一个有机组成部分且不能脱离内容形式去进行孤立地传授在数学课上要充分发挥学生的主体作用让学生自己主动地去建构数学知识。初中数学教学的目的不仅要求学生掌握数学的基础知识和基本技能，4343更重要的是发展学生的能力使学生形成优良思维素质这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。二、教学中常的数学解题想类型（一）转化思想解题过程就是将要解决的问题转化成为已经学过的知识学中的转化思想无处不在无时不用它的基本出发点就是使陌生问题熟悉化性问题明朗化、抽象问题具体化、复杂问题简单化、无序问题和谐化。1例：设函数f()＝3－(1＋a)x2＋4ax＋24，其中常数>1.3讨论f(x)的单调性；若当x≥0时，()>0恒成立，求a的取值范围．解析用函数方程与不等式之间的转化与化归求f′()＝0的根比较两根的大小、确定区间，讨论f)的单调性；(2)将f)>0成立转化为(x的最小值大于0.(1)f′()＝x－2(1＋)＋4a＝(x－2)(x－2)．由已知a>1，∴2>2，∴令f′()>0，解得>2a或x<2，∴当x∈(－∞，2)和∈(2a，＋∞)时，f(x)调递增，当xa)时，()单调递减．综上当a>1时()在区间(－∞，2)和(2a＋上是增函数在区间2,2)上是减函数．(2)由(1)知，当x≥0时，(x)在x＝2a或＝0处取得最小值．1f(2a)＝(2a)3

3

－(1＋a)(2a)

2

＋4a·2a＋24a44＝－a＋4a＋24＝－(－6)(a＋3)，33f＝24a.a>1，由题设知)>0，f(0)>0，

a>1，即(a＋3)(－6)>0，24a>0，解得1<a<6.故a取值范围是1,6)．（二）数形结合思想所谓数形结合思想就是抓住数与形之间在本质上的联系后以“形”直观表达“数”以“数”精确地研究“形”它可以把抽象的数转化为直观的形或把复杂的形转化具体的数从而达到简捷解题的目的数形结合思想在解题中的起着非常重要的作用如在课堂教学时多问题一旦教师出示了图形或教具，就会使得困难的问题简单化学生很容易就从直观上理解了问题和数学概念总之仅有数的分析或形的直观都不易单独解决的问题数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法。例知向量=(2,0),=(2,2),=(

cosα,

sinα),则向量与的夹角范围为（）0,4,,12212120,4,,1221212CMC.

A.455解析：为数配形。如图所示点A的轨迹是以C(2,2)为圆心,为半径的圆.过原点O作此圆的切线,切点分别为M,N.连CM、.∵||=2

,∴||=||=

||

.知∠COM==又∵∠=∴∠=

,6

4

12∠NOB=

512

π.选D三）方程思想

例题解图方程的思想是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。例：在水平线上一点C，测得山顶A的仰角为，向山沿直线前进20米到D处，再测山顶A的仰角为45°，求山高AB。解析：（1）在Rt△ABC和Rt△ABD中，都没有两个已知元素，故不能直接解一个三角形来求出AB。（2）考虑AB是两直角三角形的直角边，而CD是两直角三角形的直角边，而均不是两个直角三角形的直角边，但＝BD，启以学生设AB＝X，通过

列方程来解，然后板书解题过程。（3）应用未知数，用方程的思想解决问题。解：设山高AB米在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°∵BD＝AB＝x（米）在Rt△ABC中，＝AB/BC∴BC＝AB/tgC（米）∵CD＝BC－BD∴3x－x＝20

解得x＝10米答：山高AB是米（四）分类讨论思想分类思想即根据数学对象本质属性的共同点和差异点将数学对象区分成为不同种类的思想方法在解题过程中当条件或结论不是唯一时就会产生几种可能性，需要进行分类讨论。分类要不重不漏，做到学合理。例：已知椭圆离为．（1）求椭圆C的方程；

的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距（2）设直线l与椭圆交于A两点，坐标原O到直线l的距离为

，求

面积的最大值．解析圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义掌握字母间的基本关系．（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，∴所求椭圆方程为．（2）设，．①当

轴时，．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为．由已知，得．把

代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当

，即

时等号成立．当

时，，综上所述．∴当|AB|最大时，

面积取最大值．三、原性的数学解思想类（一）系统思想从系统论来看一道数学题可构成一个系统所以在系统论中的整体意识和“黑箱方法”在数学解题中有着广泛的应用。整体意识在数学解题上的应用，是指对于一个数学问题，应该重点着眼于问题的整体结构而不只是它的局部特征然后应通过全面而深刻的考察从宏观上去理解和认识问题的实质，挖掘和发现出已有元素在整体结构中的地位和作用，以求找到求解问题的思路。从解题角度而言，题目就是一个“黑箱”，解题就是通过对“黑箱”进行信息输入和输出来探究出“黑箱”的内部性态比如待定系数法反例法归纳法等解题策略以及用于解答开放性或探索性问题的探索结论过程这些都是黑箱方法的典型运用。（二）辩证思想辨证思想的运用，往往会体现在以下几个方面：、非线性结构与线性结构的转换；2、已知与未知的转换；3、常量与变量的转换；、正面与反面的转换；5、静与动的转换；6、数与形的转换；7、有限与无限的转换。（三）运动变化思想在数学解题过程当中，运动变化思想分为以下三种类型：、化静为动，从运动变化中理解数学对象的变化发展过程；2、动中寓静，从不变中把握数学对象变化的本质特征；3、动静转化，充分揭示运动形态间的互相联系。（四）建模思想这是指把实际问题进行“数学化”处理，将实际问题抽象为模型化的数学问题以揭示实际问题的本质如此不仅能解决具体的实际问题还能锻炼应用数学知识的能力因此数学建摸的思想与方法日益受到人们重视具体的建模分成以下几种类型：1、建立代数函数模型；2、建立解析几何模型；3、建立平面几何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函数模型。（五）审美思想数学美具备着简洁性对称性一性和谐性以及奇异性从数学发展史来看，数学家往往因为追求数学美而获取了许多新发现不断推动数学向前发展而在数学解题中则可通过数学审美而获得数学美的直觉促使题感经验与审美直觉相配合，激活思维中的关联因素