高中数学北师大版第一章集合单元测试 学业分层测评

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·抚州高一检测)给出下列关系：(1)eq\f(1,3)∈R.(2)eq\r(3)∈Q.(3)－3∉Z.(4)－eq\r(3)∉N.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】正确的有eq\f(1,3)∈R，－eq\r(3)∉N，错误的有eq\r(3)∈Q，－3∉Z.【答案】B2．(2023·吉州区高一月考)下列叙述正确的是()A．方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1，－1}B．{x∈R|x2＋2＝0}＝{x∈R|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0,x＋3<0))}C．集合M＝{(x，y)|x＋y＝5，xy＝6}表示的集合是{2,3}D．集合{1,3,5}与集合{3,5,1}是不同的集合【解析】选项A中的集合不符合元素的互异性，错误；选项B中，{x∈R|x2＋2＝0}＝{x∈R|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0,x＋3<0))}＝∅，正确；选项C中的集合是{(2,3)，(3,2)}，错误；选项D中集合是相等的集合，错误．故选B.【答案】B3．集合A中含有两个元素a－3与2a－1，则实数aA．±1 B．0C．－2 D．2【解析】由集合中元素的互异性可知a－3≠2a－1，即a≠【答案】C4．(2023·郑州高一检测)已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【解析】由集合元素的互异性可知，三边长a，b，c互不相等，从而△ABC一定不是等腰三角形．【答案】D5．(2023·安溪县高一期末)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3}；x∈A且x∉B，则x＝()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3}，又x∈A且x∉B，∴x＝4，故选D.【答案】D二、填空题6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有__________个元素．【解析】方程x2－5x＋6＝0的解是2,3；方程x2－x－2＝0的解是－1,2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．【答案】37．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝________.【解析】由题意知，集合C中的元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，用列举法表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}．【答案】{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}8．由实数t，|t|，t2，－t，t3，所构成的集合M中最多含有________个元素．【解析】因为|t|＝±t，故当t>0，如t＝2时，集合M可以由2,4，－2,8组成，故集合M中最多含有4个元素．【答案】4三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合：(1)能被12整除的正整数组成的集合；(2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y＝2x＋5图像上所有点组成的集合．【解】(1)能被12整除的正整数有1,2,3,4,6,12，用集合表示为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的解为x1＝eq\f(1,2)，x2＝－1，故方程的解集组成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).(3)点应用有序实数对(x，y)表示，故一次函数y＝2x＋5图像上所有点组成的集合为{(x，y)|y＝2x＋5}．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a(1)若－3∈A，试求实数a的值．(2)若a∈A，试求实数a的值．【解】(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a[能力提升]1．(2023·抚州高一期末)若集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\f(6,y)∈N*，y∈A))中元素的个数为()A．3个 B．4个C．1个 D．2个【解析】A＝{x|0<x<7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，∴集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\f(6,y)∈N*，y∈A))＝{1,2,3,6}中元素的个数为4个．故选B.【答案】B2．(2023·双鸭山高一月考)已知集合A＝{－2,2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于()A．{－4,4} B．{－4,0,4}C．{－4,0} D．{0}【解析】∵集合A＝{－2,2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，∴集合B＝{－4,0,4}，故选B.【答案】B3．已知含有三个实数的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2017＋a2016＝__________.【解析】依题意b＝0，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a,0,1}，{a2，a＋b,0}＝{a,0，a2}，于是a2＝1，∴a＝－1或a＝1(舍去)，故a＝－1，∴a2017＋a2016＝0.【答案】04．已知数集M满足条件：若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M(a≠0，a≠±1)，(1)若3∈M，试由此确定M的其他元素；(2)若a∈M(a≠0，a≠±1)，试由此确定M的其他元素.【导学号：04100002】【解】(1)∵a＝3∈M，∴eq\f(1＋a,1－a)＝eq\f(1＋3,1－3)＝－2∈M，∴eq\f(1－2,1＋2)＝－eq\f(1,3)∈M，∴eq\f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,2)∈M，∴eq\f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3∈M.∴M的其他元素为－2，－eq\f(1,3)，eq\f(1,2).(2)若a∈M(a≠0，a≠±1)，则eq\f(1＋a,1－a)∈M，∴eq\f(1＋\f(1＋a,1－a),1－\f(1＋a,1－a))＝－eq\f(1,a)∈M.∵－eq\f(1,a)∈M，∴eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))),1－\b\