常微分方程简单应用

常微分方程简单应用第一页，共三十六页，2022年，8月28日8.4微分方程的简单应用利用微分方程求函数习例1-7

微分方程在几何上的应用习例8-11微分方程在物理和力学上的应用习例12-13应用微分方程解决实际问题的一般步骤微分方程的简单应用第二页，共三十六页，2022年，8月28日一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤1、根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建立微分方程，确定定解条件；2、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；3、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。第三页，共三十六页，2022年，8月28日1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义第四页，共三十六页，2022年，8月28日二、利用微分方程求解函数习例例3这里的“函数方程”包括变上限积分、重积分、线面积分的方程以及偏微分方程等。第五页，共三十六页，2022年，8月28日内满足以下条件:(1)求

所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出的表达式.例4设其中函数

在(－∞,+∞)第六页，共三十六页，2022年，8月28日第七页，共三十六页，2022年，8月28日解原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别对x求导，得上式两端再对x求导，得第八页，共三十六页，2022年，8月28日这是变量可分离方程，分离变量并积分得第九页，共三十六页，2022年，8月28日解即第十页，共三十六页，2022年，8月28日此方程的特征方程为代入微分方程得故其特解为第十一页，共三十六页，2022年，8月28日从而方程的通解为注意到，由由此确定通解中的任意常数第十二页，共三十六页，2022年，8月28日例3设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:第十三页，共三十六页，2022年，8月28日解:(1)所以

满足的一阶线性非齐次微分方程:内满足以下条件:(1)求

所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出的表达式.例4设其中函数

在(－∞,+∞)第十四页，共三十六页，2022年，8月28日(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是第十五页，共三十六页，2022年，8月28日解令这是一个一阶线性方程，其通解为第十六页，共三十六页，2022年，8月28日第十七页，共三十六页，2022年，8月28日例6解这是一个含二重积分的函数方程，显然f(0)=1,由于第十八页，共三十六页，2022年，8月28日所以这是一个一阶线性方程，其通解为第十九页，共三十六页，2022年，8月28日解这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法化为常微分方程来解。因为第二十页，共三十六页，2022年，8月28日代入原方程，得这是一个二阶常系数齐次方程，其特征方程为第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日三、微分方程在几何上的应用习例二阶可导,且(1999考研)上任一点作该曲线的切线及轴的垂线,上述两直线与

轴围成的三角形面积积记为区间[0,]上,以为曲边的曲边梯形面积记为例9在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日例11求经过原点的曲线族，在其上任一点M例10在连接点A(0,1)和B(1,0)的一条上凸的曲线上任取一第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日二阶可导,且解于是(1999考研)上任一点作该曲线的切线及轴的垂线,上述两直线与

轴围成的三角形面积积记为区间[0,]上,以为曲边的曲边梯形面积记为在点处的切线倾角为

,第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日再利用y(0)=1得利用得两边对x

求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日例9在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点QoyxP(1,1)11解根据题意得微分方程第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日从而第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日故，所求曲线方程为第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日例10在连接点A(0,1)和B(1,0)的一条上凸的曲线上任取一解B(1,0)oyxP(x,y)A(0,1)x3第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日第三十页，共三十六页，2022年，8月28日例11求经过原点的曲线族，在其上任一点MToyxM(x,y)P解第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日第三十三页，共三十六页，2022年，8月28日四、微分方程在物理和力学上的应用习例例12.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.例13.从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).

(1995考研)

第三十四页，共三十六页，2022年，8月28日例12.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解建立坐标系如图.设在时刻

t,链条较长一段下垂x

m,又设链条线密度为常数此时链条受力由Newt