工程电磁场第五章

工程电磁场第五章第一页，共六十五页，2022年，8月28日1在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。第二页，共六十五页，2022年，8月28日时变场的知识结构框图：磁通连续性原理高斯定律电磁感应定律全电流定律Maxwell方程组坡印廷定理与坡印廷矢量正弦电磁场动态位A

,分界面上衔接条件达朗贝尔方程电磁辐射、传输线及波导第三页，共六十五页，2022年，8月28日5.1法拉第电磁感应定律1.电磁感应定律

当闭合回路环绕的磁通随时间发生变化时，在回路中将引起感应电动势和感应电流。感应电动势的大小与磁通对时间的变化率成正比。感应电动势的参考方向与磁通的方向成右手螺旋关系。根据楞次定律，感应电动势及其所产生的感应电流总是企图阻止导电回路所环绕的磁通发生变化，即由感应电流产生的磁通总是企图抵消原磁通发生的变化。如果考虑到线圈的匝数，磁通应由磁链来代替。因此，感应电动势的表示式为

当磁通发生变化时，闭合回路中产生了感应电动势，说明回路中产生了感应电场。感应电场不同于库仑电场。它不是由电荷产生的，而是由磁场的变化引起的。设S为闭合回路L限定的曲面第四页，共六十五页，2022年，8月28日电磁感应定律（Faraday’sLaw）

当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。电磁感应定律：

负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。感生电动势的参考方向第五页，共六十五页，2022年，8月28日2.时变场中的静止回路对于静止回路，L和S不随时间变化对于单匝回路，感生电动势

这种静止回路中的感应电动势类似于变压器线圈中的感应电动势，因此叫做变压器电动势。变压器电动势就是S不变、B随时间变化时的感应电动势。感生电动势第六页，共六十五页，2022年，8月28日3.恒定磁场中的运动回路在恒定磁场中，当导体回路的某一部分以速度v运动时，随导体一起运动的自由电荷将受到洛伦兹力的作用，磁场对运动电荷的作用力为

将作用在单位电荷上的洛伦兹力等效为电场强度，就可以认为运动导体中产生了感应电场，其电场强度为

若将磁场用磁感应强度线表示，运动的导体将切割磁感应强度线，因此，恒定磁场中运动回路的感应电动势叫做切割电动势。这种感应电动势类似于发电机运动线圈中的感应电动势，又称为发电机电动势。第七页，共六十五页，2022年，8月28日磁场不变，回路切割磁力线称为动生电动势，这是发电机工作原理，亦称为发电机电势。动生电动势第八页，共六十五页，2022年，8月28日实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样是回路中的磁通发生变化。第九页，共六十五页，2022年，8月28日磁场随时间变化，回路切割磁力线实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流产生。第十页，共六十五页，2022年，8月28日4.时变场中的运动回路称为电磁感应定律的积分形式在静止媒质中，场点相对静止这就是电磁感应定律的微分形式电磁感应定律的本质就是变化的磁场产生电场。第十一页，共六十五页，2022年，8月28日变化的磁场产生感应电场第十二页，共六十五页，2022年，8月28日

例5-1-1如图5-1-2所示，无穷长直导线通以电流，导电线框以匀速v向右运动。当线框运动到如图所示位置时，求接于AB之间的电压表的读数。

解时变场中的两点之间电压不是惟一的。这里只考虑两种情况:（1）电压表用短导线直接接到AB之间，并与线框一起运动;（2）电压表用长导线沿线框接到AB之间，并与线框一起运动。第十三页，共六十五页，2022年，8月28日第十四页，共六十五页，2022年，8月28日（2）当电压表用长导线沿线框接到AB之间时，电压表联线与线框一起组成一个闭合回路，这个闭合回路围成的面积为零。无论电流和磁场如何变化，线框怎样运动，闭合回路中都不会产生感应电动势。因此，电压表测得的电压为零。5.2全电流定律1.时变场的电流连续性在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流的连续性，有在时变场中，根据电荷守恒原理，有第十五页，共六十五页，2022年，8月28日应用散度定理，可得这就是时变场的电流连续性方程传导电流不再保持连续。第十六页，共六十五页，2022年，8月28日2.位移电流安培环路定理的微分形式为在恒定磁场中，电流是恒定的传导电流，传导电流密度的散度为零。在时变场中，传导电流不再保持连续。可以看作是一种电流密度，记为全电流密度为第十七页，共六十五页，2022年，8月28日3.全电流定律根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律的微分形式位移电流密度应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式第十八页，共六十五页，2022年，8月28日

麦克斯韦最关键的贡献就是引入了最后一个关键角色—变化的电场，他认为不止是静电场中的稳恒电流能产生磁场，变化的电场更应该能产生磁场，只不过不太容易被观察到而已。这个关键性的观念直接导致了麦克斯韦电磁场理论—可以说是牛顿力学后，物理学历史上的第二个人类理性的辉煌胜利。把变化的电场作为一个电磁现象中的角色，关键就是把变化的电场也看成一种电流，这就是麦克斯韦提出的位移电流的概念。我们已经学习过的两种电流形式—传导电流和运流电流。传导电流是电荷定向地传递相互作用，而运流电流则是电荷自身的宏观定向运动。这两种电流都可以通过静电场来产生，但无法用来描述变化的电场所传递的相互作用，而通过变化的电场来传递相互作用却是我们还没能加以描述的物理过程。第十九页，共六十五页，2022年，8月28日有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流电流密度为完整的全电流定律的微分形式应为全电流定律表明，除传导电流、运流电流产生磁场外，位移电流也产生磁场。传导电流和运流电流都是电荷的运动。但位移电流却不是电荷的运动，而只是电场的变化。第二十页，共六十五页，2022年，8月28日例5-2-1求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。

解设电容器极板面积为S，正负极板距离为d,电介质的介电常数为ε，电容器正负极之间加随时间变化的电压u。第二十一页，共六十五页，2022年，8月28日

电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并不就是等于断开了电路。电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个等效的电流就是位移电流。

第二十二页，共六十五页，2022年，8月28日例计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。解：铜中的传导电流大小为

第二十三页，共六十五页，2022年，8月28日5.3电磁场的基本方程组积分形式微分形式在各同同性媒质中，有关场矢量之间的关系用下列辅助方程表示:第二十四页，共六十五页，2022年，8月28日全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场。磁通连续性原理：表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。第二十五页，共六十五页，2022年，8月28日媒质分界面条件在时变场中，电位移矢量所满足的方程与其在静电场中的方程相同。因此，电位移矢量的媒质分界面条件与静电场中相同，即

en是分界面的法向单位矢量，从第一种电介质指向第二种电介质在时变场中，磁感应强度所满足的方程与其在恒定磁场中的方程相同。因此，磁感应强度的媒质分界面条件与恒定磁场中相同，即第二十六页，共六十五页，2022年，8月28日小矩形的面积为零为有限值第二十七页，共六十五页，2022年，8月28日当分界面上不存在自由面电流和自由面电荷时，时变电磁场的分界面条件可简化为第二十八页，共六十五页，2022年，8月28日为电磁场的折射定律第二十九页，共六十五页，2022年，8月28日第三十页，共六十五页，2022年，8月28日第三十一页，共六十五页，2022年，8月28日5.4动态位1动态位的定义令定义动态位Ф第三十二页，共六十五页，2022年，8月28日2.动态位的方程为了求得动态位与场源之间的关系，需要将动态位代入电磁场的基本方程和辅助方程。在均匀媒质中全电流定律第三十三页，共六十五页，2022年，8月28日上式表示A与Jc的关系上式表示Ф与ρ的关系第三十四页，共六十五页，2022年，8月28日3.洛伦兹规范和达朗贝尔方程洛伦兹规范第三十五页，共六十五页，2022年，8月28日上式为非齐次波动方程，称为达朗贝尔方程。对于静态场和恒定场在无源的自由空间，达朗贝尔方程简化为齐次波动方程，即第三十六页，共六十五页，2022年，8月28日5.5达朗贝尔方程的解1.点电荷情况下的达朗贝尔方程的解达朗贝尔方程是非齐次波动方程，它的解应当同时具有波的特征和泊松方程解的特征。下面以标量动态位φ为例，讨论在坐标原点处变化的点电荷q(t)产生时变场达朗贝尔方程的解。在无源的自由的空间源点电荷拥有球对称性一维齐次波动方程通解f1和f2是存在二阶偏导数的任意函数。第三十七页，共六十五页，2022年，8月28日第三十八页，共六十五页，2022年，8月28日图5.6.1

的物理意义

图5.6.2波的入射、反射与透射第三十九页，共六十五页，2022年，8月28日第四十页，共六十五页，2022年，8月28日第四十一页，共六十五页，2022年，8月28日时变电磁场的波动性表明，它是空间传播的电磁波由上可知，电磁波是以有限速度传播的，这个传播速度称为波速，用v表示。波速决定于媒质的性质，其表示式为第四十二页，共六十五页，2022年，8月28日5.6.1坡印廷定理（PoyntingTheorem）在时变场中，能量密度为体积V内储存的能量为（1）（2）PoyntingTheoremandPoyntingVector

5.6坡印廷定理和坡印廷矢量电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理；坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。第四十三页，共六十五页，2022年，8月28日第四十四页，共六十五页，2022年，8月28日第四十五页，共六十五页，2022年，8月28日恒定场中的坡印廷定理注意：磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能量的流动。在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为：坡印廷定理第四十六页，共六十五页，2022年，8月28日

表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。坡印廷矢量(PoyntingVector)W/m2定义坡印廷矢量电磁波的传播第四十七页，共六十五页，2022年，8月28日第四十八页，共六十五页，2022年，8月28日第四十九页，共六十五页，2022年，8月28日第五十页，共六十五页，2022年，8月28日电路中正弦量有三要素：振幅、频率和相位。正弦电磁场也有三要素：振幅,频率和相位。SinusoidalElectromagneticField5.7.1正弦电磁场的复数形式(SinusoidalElectromagneticFieldComplexForm)5.7