工程电磁场导论第三次课

工程电磁场导论第三次课第一页，共二十页，2022年，8月28日（一）矢量场的环量

例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。

第二页，共二十页，2022年，8月28日引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：（1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。（2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。第三页，共二十页，2022年，8月28日旋度概念的提出：矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，当闭合曲线L所围的面积趋于零时，矢量场对回路L的环量与旋涡源对于L所围的面积的通量成正比，即：

（二）矢量场的旋度(Rotation)

JFn第四页，共二十页，2022年，8月28日矢量场旋度定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：第五页，共二十页，2022年，8月28日根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为:第六页，共二十页，2022年，8月28日利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即Stokes定理

环量积分＝旋度的面积分（三）、环量与旋度之间的联系－Stokes定理

第七页，共二十页，2022年，8月28日方向相反大小相等结果抵消第八页，共二十页，2022年，8月28日旋度的计算公式圆柱坐标系下旋度的计算公式：圆柱坐标系下旋度的计算公式：球坐标系下的旋度计算公式第九页，共二十页，2022年，8月28日§1.5矢量场的旋度

第十页，共二十页，2022年，8月28日（一）、无源场对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为零，即：则称A为无源场。

性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所有截面的通量都相等。

性质二：无源场存在矢势。六、无源场和无旋场第十一页，共二十页，2022年，8月28日（二）、无旋场对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋度为零，即：则称A为无旋场。

性质一：在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L的环量为零。即：

性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。第十二页，共二十页，2022年，8月28日（三）、调和场散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。根据其无旋性可得：根据其无源性可得：引入Laplacian算子第十三页，共二十页，2022年，8月28日拉普拉斯方程和泊松方程若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部，任意点的散度不为零，须引入泊松方程第十四页，共二十页，2022年，8月28日对于矢量场必需考虑如下问题：（1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量场？六、Helmholtz定理第十五页，共二十页，2022年，8月28日1矢量场的Helmholtz定理

空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：

其中为无旋场，为无源场。第十六页，共二十页，2022年，8月28日Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无源场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：第十七页，共二十页，2022年，8月28日证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。第十八页，共二十页，20