小波变换课件双正交小波

小波变换课件双正交小波第一页，共四十五页，2022年，8月28日正交小波的性质对称性（√），紧支撑（×）对称性（×），紧支撑（√）对称性（√），紧支撑（√）光滑性（×）→Harr小波紧支撑且线性相位(对称性)？双正交小波！第二页，共四十五页，2022年，8月28日5.1滤波器的相位特性在线性系统理论中,滤波器的传递函数可表达为

为幅频特性，为相频特性。如果可以表示为

式中α和β为常数，那么称为具有线性相位特性第三页，共四十五页，2022年，8月28日输出信号的相位特性，除了常数β外，与延时为α的输入信号的相位特性完全一致hf(x)g(x)第四页，共四十五页，2022年，8月28日当滤波器具有线性相位特性时,输出信号将不产生相位畸变。这一点对图像信号十分重要，因为视觉对于相位畸变非常敏感

线性相位，振幅畸变非线性相位，振幅无畸变滤波器如何具有线性相位特性？

第五页，共四十五页，2022年，8月28日定理5.1

滤波器具有线性相位的必要与充分条件是它的脉冲响应函数具有如下关于的共轭对称性：证明：必要性：

……

充分性：第六页，共四十五页，2022年，8月28日推论5.1如果限定脉冲响应为实函数，那么由式(5.1.3)可知，这时必为实数,即

所以实脉冲响函数具有线性相位的必要与充分条件是任何实值脉冲响应的数字滤波器具有线性相位的必充条件是第七页，共四十五页，2022年，8月28日正交小波：紧支撑＋线性相位？定理5.2

紧支撑正交小波，除Haar小波之外，不可能是线性相位的。第八页，共四十五页，2022年，8月28日5.2双正交小波的基本性质如果有两对函数与，其中，尺度函数和分别生成MRA和MRA，而和则分别张成在下述意义上的补空间和：

并且它们之间还满足如下正交关系：

那么这两对函数称为互为对偶的双正交小波。第九页，共四十五页，2022年，8月28日5.2.2双正交小波的二尺度关系二尺度关系第十页，共四十五页，2022年，8月28日令则双正交基本条件若令则正交基本条件第十一页，共四十五页，2022年，8月28日紧支撑线性相位双正交小波的和之间的长度关系定理5.3

序列{}，除之外，所有下标为偶数的元素取值为0。证明：利用双正交基本条件第十二页，共四十五页，2022年，8月28日

和的长度和之间的关系

（1）两者长度均为奇数，并且长度相差２的奇数倍，因而两者不可能等长。小波和是一对偶对称双正交小波。第十三页，共四十五页，2022年，8月28日（2）；两者长度均为偶数，并且长度相差２的偶数倍，两者等长是可能的。小波和是一对反对称双正交小波。第十四页，共四十五页，2022年，8月28日（3）L为奇数,为偶数或为L偶数,为奇数序列的终点下标和起点下标关于奇偶性出现矛盾，故此种情况不存在第十五页，共四十五页，2022年，8月28日5.3构造双正交小波的CDF方法Step1给定2M，根据下式计算Step2Step3当和均为偶数，当和均为奇数，Step4

②①①②第十六页，共四十五页，2022年，8月28日function[y,t]=biofilter1(n)t(1)=sym(1);%syms是定义符号变量；sym则是将字符或者数字转换为字符。fori=1:nt(i+1)=t(i)*(n+1-i)/i;endfori=1:nt=t/2;endy=sym(0);symsz;n2=floor(n/2);%朝负无穷方式舍入fori=-n2:n-n2y=y+t(n2+i+1)*z^i;end第十七页，共四十五页，2022年，8月28日functiony=biofilter2(n,m)k=(n+m)/2;t(1)=sym(1);forp=2:kt(p)=sym(1);forj=1:p-1t(p)=t(p)*(k-1+p-1+1-j)/j;endendm0=sym(0);symsz;forj=1:km0=m0+t(j)*((z^(-1/2)-z^(1/2))/(2*i))^(2*(j-1));endifn/2==fix(n/2)%fix(n)的意义是取小于n的整数(是向零点舍入）

m0=m0*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;elsem0=m0*z^(1/2)*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;endy=collect(m0);%返回系数整理后的多项式

第十八页，共四十五页，2022年，8月28日>>biofilter2(2,4)ans=1/4/z+1/2+1/4*zans=3/128*z^4-3/64*z^3-1/8*z^2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z^2-3/64/z^3+3/128/z^4

>>biofilter2(4,2)

ans=1/16/z^2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z^2ans=3/32*z^3-3/8*z^2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/8/z^2+3/32/z^3第十九页，共四十五页，2022年，8月28日>>biofilter2(3,3)ans=1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z^2ans=3/64*z^4-9/64*z^3-7/64*z^2+45/64*z+45/64-7/64/z-9/64/z^2+3/64/z^3第二十页，共四十五页，2022年，8月28日

>>biofilter2(1,5)ans=1/2+1/2*zans=3/256*z^5-3/256*z^4-11/128*z^3+11/128*z^2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z^2-3/256/z^3+3/256/z^4

>>biofilter2(5,1)ans=1/32/z^2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z^2+1/32*z^3ans=3/16*z^3-15/16*z^2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z^2

第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日5.4基于双正交小波的分解与重构任给重构基分解基在双正交小波情况下，信号的分解与重构采用不同的基第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日

(a)分解(b)重构第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日5.5小波函数的消失矩性质定义5.1当小波函数满足如下条件时称具有N阶消失矩定理5.4具有N阶消失矩，则以为其N重零点。推论5.2具有N阶消失矩，则以为其N重零点。

第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日5.5.2小波函数的光滑性与消失矩的关系数学上用函数的频谱在足够大时的衰减快慢来刻画的光滑程度定义5.2

如果存在尽可能大的正常数，使成立，则称具有光滑指数，并记为越大，则表明衰减愈快，因而的频域定域性愈好第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日5.6提升方案1994年WimSweldens提出了一种新的小波构造方法——提升方案(liftingscheme)，也叫第二代小波变换(secondgenerationwavelettransform,SGWT)或[整数到]整数小波变换([integer-to-]integerwavelettransform,[IT]IWT)。第二代小波变换构造方法的特点是：

1、继承了第一代小波的多分辨率的特性；

2、不依赖傅立叶变换,直接在时域完成小波变换；

3、小波变换后的系数可以是整数；

4、图象的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方式无关。第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日定理5.6

对于一对给定的双正交尺度函数和，其相应的二尺度系数序列为和，那么所有满足如下条件的序列将与序列也满足双正交关系。式中是一个三角函数多项式。提升方案的基本公式第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日简单的提升步骤：已知：任何一对双正交尺度函数和(对应于和)，步骤：选择合适的三角多项式并根据下式获得新的和新的

用户定制（custom_design)第三十页，共四十五页，2022年，8月28日从haar小波出发的提升已知：要求：提升后小波具有二阶消失矩提升：依据定理5.4，提升后的小波所对应的在应具有二重零点，由此获得三角多项式的具体表达式，并代入提升方案的基本公式即可。将Lazy小波提升到具有二阶消失矩的过程与此相同第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日交替提升：第一次提升：（和不变）第二次提升：（和不变）

第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日

Sweldens分解和重构算法

1、分解算法推导第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日按照（）提升则对应的序列根据标准分解算法有（5.6.3）（4.1.5）第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日一次提升的分解步骤关于（提升和）：第一步：用和对输入信号按标准算法作一次分解得

第二步：更新

第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日一次提升的分解步骤关于（提升和）第一步：用和对输入信号按标准算法作一次分解得

第二步：更新

第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日交替提升的分解步骤第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日2、重构算法针对图示的分解算法，推导其重构过程第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日按照（5.6.4）提升则对应的序列根据标准重构算法有（5.6.4）（4.2.4）第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日一次提升的重构步骤第一步：计算