2020高考数学一轮复习三角函数三角恒等变换题型大全

・（2017・江西新余三校联考）已知cos=_8’则sin（x+3）的值为（）1-4A.A.f117B.3c.—§D・一9n1（nA4.已知sin3・（2017・江西新余三校联考）已知cos=_8’则sin（x+3）的值为（）1-4A.A.f117B.3c.—§D・一9n1（nA4.已知sin（6_a）=3，则cos2百+aj的值是（）则sin（a+剖的值是.4石a=55.已知sin(3+a)+sin［练常考题点——检验高考能力］一、选择题1．)已知cos(x-6)=_¥，1-3B1-3A2d・32．则cosx+cos(j—3)=(C．－1A．3．)1B．2C．3D．±1A．D．44．.(n\7^2~7已知sin(a_4)=io,cos2a=^5,贝9sina=(B．d・-55.在斜三角形ABC中,sinA=—\：2cosB・cosC,且tanB・tanC=1—'J2,则角A的值为()na・4nB・3neq3nd.r6.(2017・浙江金丽衢十二校联考)已知锐角a，B满足sina—cosa=*,tana+tanB+£3・tanatanB=\：3,则a,B的大小关系是（）nnC・nnC・4<av0D・4<0<a「nB・B<4<a8．已矢口cos4«—sin4«=2,且代(8．已矢口cos4«—sin4«=2,且代(0,2则cos(2q+39．已矢口tana,tanB是方程x2+3\；3x+4=0的两根，且a,“丘2)，则a+B=10.若0va<2,cos(^+acos则cos]a三、解答题11.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x^R.(i)求fD的值；(2)若sina=3(2)若sina=3

=5,且a£n,求店+24)12.已知函数f(x)=4tanxsin匕—x)•cos]x—3)—Y3.(1)求fx)的定义域与最小正周期；nn⑵讨论fx)在区间4，4」上的单调性.答案第五节三角恒等变换3•三角恒等变换的综合问题.本节主要包括3•三角恒等变换的综合问题.本节主要包括3个知识点:1•三角函数的化简求值；2•三角函数的条件求值;突破点(一)三角函数的化简求值基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(a-P)cos(a—”)=cosacos岁+sinasinfi

C(a+P)cos(a+0)=cosacos0—sinasinPS(a-Psin(a—P)=sinacosP—cosasinfiS(a+P或n(a+P)=siinacosP+cosasinBT(a-P)tana—tanP二心^^—^=1+^0^“；变形：^ana—tanP=tan(a—P)(1+tanatanP)T(a+P)tana+tanP、，，tan(a+P)=i—tanatanP；^形:^ana+tanP=tan(a+P)(1—tanatanP)2.二倍角公式S2asin2a=2sin_acos_a；变形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2C2acos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；、「宀1+cos2a1—cos2a变形：cos2a=2，sin2a=?-2tanatan2a=亠21—tan2a考点贯通抓高考命题的“形”与“袖”占口一三角函数式的化简I1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．［例1］已知a£(0,n),化简:(1+sina+cosa)£os2sin2)2+2cosa［解析］原式=acos22cos2aacos22cos2a+2sinacos2)^(因为ae(0,n),所以詐9所以cosp°,所以原式=2cos22+2sin2cos2)・©os》sin^)所以原式=2cos|0°20°2+血2)・Gs2_a.a=cos22_sin22=cosa.［a.a=cos22_sin22=cosa.［答案］cosa［方法技巧］三角函数式的化简要遵循“三看”原则fI询过看甬之间的差别与联系*把期进行合理的i1—拆-分，从止确使闭去■式二曲\咅曲数客称之间时耒井.从血确星蹩用的金武」最祜帘见的有“切化蚯”i亠祈蔬材蒔兀義商示祸鬲万恳焉血皿看丁亦歸話説护屈宀紺因式癞…二次式門点二三角函数的给角求值I［例2］求值：1+cos20°c1(1)2sln20°-Sln10击一伽55⑵sin50°(1+\3an10°).［解］(1)原式=2cos210°

2［解］(1)原式=2cos210°

2X2sln10°cos10°-sin10°cos5°sin5°sin5°cos5°cos10°

2sln10°-sin10°cos25°—sin25°

sin5°cos5°cos10°

2sin10°—sin10°cos10°2sin10°cos10°

2sin10°—2cos10°cos10°

2sin10°—2cos10°=cos10°—2sin(30°—10°)=2sin10°cos10°—2毎cos10°—今sin10°)=2sin10°=V3sin10°=V3=2sin10°=2-⑵sin50°(1+/3tan10°)=sin50°(1+tan60°・tan10°)

ccos60cos10+sin60sin10=sm50・_cos60cos10.cos(60°-10°)=sin50•—cos60cos10=2sin50°cos50°=cos10°=sin100°=cos10°==cos10°=cos10°=1.［方法技巧］给角求值问题的解题规律解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补（余）关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形.能力练诵抓应用体验的“得”与“失”1—cos2能力练诵抓应用体验的“得”与“失”1—cos210°.—:cos80°;1—cos20°=()解析：选A1—cos210。cos80°寸1—cos20°=sin210°=sin10°\1—(1—2sin210°)=sin210°=^2=V2sin210°=2•2•［考点二］(1+tan18°)・(1+tan27°)的值是()a.<3b.1+逸C.2D.2(tan18°+tan27°)解析：选C原式=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan45°(1—tan18°tan27°)=2,故选C・3［考点一］化简：(sin2«+cos2a—1)(sin2a—cos2a+1)sin4a解析(sin2«+cos2a—1)(sin2a—cos2a+1)sin4a_sin^cos2x.1答案：^cos2r突破点（二）三角函数的条件求值考点贯诵抓高考命题的^cos2x.1答案：^cos2r突破点（二）三角函数的条件求值考点贯诵抓高考命题的“形”与“神”考点一给值求值问题I［例1］（2017・合肥模拟）已知cos（6+j・cos3-a=-寸,a£（|，2）・求sin2a的值；1求tana—tana的值•_2sin2a・cos2asin22a—cos22a+2cos2a—1—2sin2a・cos2a—2cosP2a+2cos2a_2sin2a・cos2a1—cos2a_sin2a_2sin2a_2sinacosasinacosa_tana・答案：tana4•［考点一］化简:12cos4x—2cos2x+22tanl^4-Jsin2!^+j2(1—sin22r)2sin£-xjcosg_x12cos22x1［解］⑴*.*cos(6+jcos(3-j=cos£+asin(6+a)=a+U=14f.*.sin^2a+312.・・coslVaG9.*.2a+3G网=-sin2a=si12・=sin(2a+3)cos§-cos(2a+§)12・(2)VaG(nn)a27,•*.2aG^3,n),1又由(1)知sin2a=2,cos2a=-.*.tana—1sinatana=cosacosasin2a—cos2asina=sinacosa—2cos2asin2a=2XY~=2也.［方法技巧］给值求值问题的求解思路先化简所求式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);将已知条件代入所求式子，化简求值.考点二给值求角问题I［例2］(1)设a,fi为钝角，且sina=普，cos“=一，则a+fl的值为()A3nB5n44,5n亠7nD・4或4

11⑵已知a,fiw(0,n),且tan(a_fl)=2，tanfi=—7,则2a—fi的值为［解析］(1)Va,fi为钝角，sina=专,cosfi=—普学，・—2苗・“一血..cosa=5,sinfi=珂,・・・cos(a+fi)=cosacosfi—sinasinfi=¥>°・又a+"W(n,2n),（普,2』,/.a+ft=7n~4-⑵*.*tana=tan［(a—fl)+fl］=tan(a_^+tan#1—tan(a—)tanfi112—7i1_=3>0，1+1X13.“n.•.0<a<2.又Ttan2a=2tan又Ttan2a=2tana1—tan2a2X34>o,.•・0v2.•・0v2a<n，/环tan2a—tanfi・・・仙(2久-刈=1+仙2atanfi=3+1=131*11—3X1・2a—fi=—・2a—fi=—n<2a—fi<0,3nT［答案］(1)C(2)—3n~4［方法技巧］给值求角时选取函数的原则和解题步骤（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0,£）,选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，n），选余弦函数较好；若角的范围为（一2，2）,选正弦函数较好.（2）解给值求角问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角的大小.

AlBlD．CAlBlD．解析:选B强—沪气总呼鼻嗔2.五10-或

¥¥••解析：选ATa，fi都是锐角，且cosa=令,sin(a—^)=诘°,・佃血a=^55，cos(a—fi)=3^010,从而cosfi=cos［a—(a五10-或

¥¥••解析：选ATa，fi都是锐角，且cosa=令,sin(a—^)=诘°,・佃血a=^55，cos(a—fi)=3^010,从而cosfi=cos［a—(a—fi)］=cosacos(a-fl)+sinasin(a—fi)=’，故选A・3•［考点二］(2017・台州模拟)若sin2a=琴,sin(fi—a)=且aEn3n_4,n-，fiE0，㊁」，则a+fi的值是()A乌b・9F5n士9nD/4或~4解析：选A因为aW〔4，n］所以2a£〔2，2n］,又sin2a=^，所以2aWnnn_2,n_,aE环2」9故cos2a=—琴5•又fi已［兀，普］，所以fi—aw［2,竽］,故cos(fi—a)=—3^1°.所以cos(a+fi)=cos［2a+(fi2f5—a)］=cos2a・cos(fi—a)—sin2asin(fi—a)=—5XX需=¥，又a+fiE,故a+fi=^・4•［考点二］若锐角a,fi满足(1+V3tana)(1+V3tanfi)=4,则a+fi=•解析：因为(1+"/3tana)(1+'3tanfi)=4,所以1+J3(tana+tanfi)+3tanatanfi=4,即Y3(tana+tanfi)=3—3tanatanfi=3(1—tanatanfi),即tana+tanfi=V3(1—tanatanfi).Atan(a+fi)=1—瓷齢=朽•又Ta,fi为锐角，••"+/=.答案:n，且吨+碣=学5•［考点一］已知ae(2，n⑴求cosa的值；⑵若sin(a-厉=_5,0^(2，J，求cosfi的值.解：⑴已知si^+cos^普两边同时平方，得1+2sinacos¥=3，则sin么=专・又2<a<n,所以cosa=—p1—sin2«=—草3.(2)因为2<a<n,2<0<n,又sin(a—0)=—5,4所以cos(a—0)=5.则cos0=cos[a—(a—0)]=cosacos(a—0)+sinasin(a—0)=—Sx4+ixr—3A=—W3+3=2X5+2Xl57=10*突破点(三)三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点•在高考中以解答题的形式出现,考査三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.考点贯通抓高考命题的“形”与“袖”考点三角恒等变换与三角函数性质的综合问题I［典例］已知向量m=(sinx,1),n=\$Acosx,Acos2x(A>0)，函数fx)=m・n的最大值为6.⑴求A;(2)将函数y=fx)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的I倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在［o,24上的值域.[解](1fx)=m・n2x=\'3Asin2x2x=\'3Asin2x+!cos2x)=Asin(2x+殳因为A>0,由题意知A=6.⑵由⑴知问=6血@+芳・将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到y=6si顶+韵+6]=6血(加+3)的图象再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，得到y=6sin@+3)的图象.因此g(x)=6sin£x+3)・因为xW[o,24],所以4x+3丘[3,判,故g(x)在[°,謝上的值域为[一3,6]・[方法技巧]三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(远+©)+t或余弦型函数y=Acos(ex+^)+t的形式，再进行图象变换.⑵函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(dx+©)+t或y=Acos(dx+0+t的形式;2n②利用公式T=石@>0)求周期;根据自变量的范围确定远+卩的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ex+e)+t或y=Acos(dx+©)+t的单调区间.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.已知函数fx)=2sinxsin(x+?)・(1)求函数fx)的最小正周期和单调递增区间；n⑵当xe[o,2」时，求函数fx)的值域.解：(1)解：(1)fx)=2sinx|2^sinx+*cosx3X1一严+2血”雄一)+£所以函数fx)的最小正周期为T=n.由一2+2^n^2x_3^2^2^n,kEZ,n5n解得—J^+knWxW^+kn,kEZ,所以函数fx)的单调递增区间是|^—12+kn,卷+kn],kEZ.(2)当xe[o,2]时,2x-|e[-n,2n],$血一牝[一爭,1_,fx)E[o,1+¥]・故fx)的值域为[0,1+占3].2.已知函数fx)="73sinex—cosex—1,xeR(其中e>0).(1)求函数fx)的值域；⑵若函数y=fx)的图象与直线y=—1的两个相邻交点间的距离为2求函数y=f(X)的单调增区间.解:(1)fx)=2生3sinex-^cos-1=2sin@x-另—1.由一1Wsin@x—6)W1,得一3W2sin@x—6)—1W1・所以函数用)的值域为［一3,1］.2n⑵由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=fx)的周期为n,所以石=n，即血=2・所以fx)=2sin(2x一一1,由2kn_2^2x_6^2kn+2(kEZ),得刼―:冬泾航+壬眶z).所以函数y=f(x)的单调增区间为［刼一彳，kn+3(kEZ).3.已知函数f(x)=2cos2»x—1+3sinexcos血x(0sv1),直线x=3是函数fx)的图象的一条对称轴.(1)求函数心)的单调递增区间;2n(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=fx)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移晋个单位长度得到的，若g(2a+n)=6,aw(0,剳，求sina的值.解:(1)fx)=cos2ex+3sin2ex=2sin^2ex+6),由于直线x=3是函数f（x）=2sin^2«x+6）的图象的一条对称轴，所以sinl俘血+6）=±1,因此普血+6=kn+2（kEZ）,31解得血=尹+2仇丘乙）,又05V1,所以血所以f(x)=2sin&+6)・由2kn—nWx+nW2kn+n(kEZ)，得2kn—竽03兀+歎取),所以函数fx）的单调递增区间为2kn—竽，2kn+n（kEZ）.弟+竽）+6］，（2）由题意可得g（x）=2sinx即g(x)=2cos2,5,得cos(a+6)=3,又aW(0,2)，故6＜。+6＜普，所以sin(a+5)=4，由g(2a+§)=2coj2(2a+3)=2cos(a+6)=所以sina=sin[(a+5)—5]=sin^a+5)^cos^-cos(a+l)・sin6=5x¥—5烤=气尹［课时达标检测］重点保分课时一练小题夯双基.二练题点过高考［练基础小题——强化运算能力］sin110°sin20°1(2017•丽水模拟)计算cos2155°—sin2155°的值为(A.-2BlD•与解析：选Bsin110°sin20°=sin70°sin20°cos2155°_sin2155°=cos310°__cos20°sin20°2sin40°=1cos50°=sin40°=2*2.（2017・临安中学高三月考）已知si1n=2，—2＜aV0,则cos)A*!B.|A*!D.1D.1C—2

iJ3解析：选C由已知得cosa=2，sina=_?,所以cos(a_n)=1cosa+^sina=_2・C.士1解析：选C因为3.（2017・江西新余三校联考）已知BC.士1解析：选C因为3.（2017・江西新余三校联考）已知B・7)8,则D.±71_78，所以有121_8）=16，从而求得sin&+3）的值为士4，故选C・4.已知sin£—a=3，则cos2（V+a）的值是（）1-3-7--9解析：1-3-7--9解析：选DTsi1V=1_2sin26_a=7,cos2^+a=cosl^^+2a)=cosn=cosn_^3_2a)=_cos3_2a=7一9・的值是5.已知sinl鲁+j+sin么二4^3，则sin的值是解析：Tsin^V+j+sina=4J3»/.sinfcosa+cos^ina+sina=4^,・・・2sina+亨cosa=4^,即今sin么+2cosa=5,故sin£+"6)=sinacos7^+cosasin7^=_^23sina+2cosj=_5・答案：一4［练常考题点——检验高考能力］一、选择题1．已知sin2a=3，则cos2!^—另=()A．B・fC．D・2解析：选D依题意得cos2(a—4)=cosacos4+sinasin42=£(cosa+sina)2=|(1+sin2a)=#・2．已知cosQ—6)=—专3，则cosx+cos©—3)=()A．C．D．±1解析:选CTcos©—6)=—智,cosx+cosx—3=cosx+cosxcos3+sinxsin3=3cosx+_23sinxrS^^cosx+2sinJ=\'3cos(-6)=佰X(-^=-13•若tana=2吨，则仝=(A．1D．4B.2C.3(a—10)sin!a—10+2)sin(a+5)cos解析：选Cd5)£5)sin(a-5n..nsinan..nsinacos+cosasmcos+smg55_cosa55n.n=sinan.nsinacosg—cosasmgcosac°sg—smgsin52・ncos5+sin5n55〜.ncosg3smgn=n=3,故选c.sinzsinz~5n.n52・二cos5—sin5cos5(n\7寸274.已知sing—4)=〒0,cos2a=25，贝0sina=()cos2a—sincos2a—sin2a=725,所以tan(B+C)=tanB+tanC1—tanBtanC—1・c・5d・-5解析：选c由sin£—另二7^2得sina—cosa=5①AlB．由cos2a=25得所以(cosa—sina)・(cosa+sina)=25，②由①②可得cosa+sina=—③3由①③可得sina=5・5.在斜三角形ABC中，sinA=—\/2cosB・cosC,且tanB・tanC=1—V2，则角A的值为(),nnA・4b・3n3nc・2D・a解析：选A由题意知，sinA=—V2cosB・cosC=sin(B+C)=sinB・cosC+cosB・sinC,在等式一\'2cosB・cosC=sinB・cosC+cosB・sinC两边同除以cosB・cosC得tanB+tanC=—1'2,又tanB・tanC=1—冯2,由已知,有tanA=—tan(B+C),n则tanA=1,所以A=4，16.(2017・浙江金丽衢十二校联考)已知锐角a,B满足sina—cosa=6，tana+tan0+"j3・tanatanp=\'3，则a,p的大小关系是（）,n“A.a<4<pnB.p<4<anC・4<a<pn“D・4<pva解析：选B'：a为锐角，sina—cosa=6,a>4•又tana+tanfi+\3tanatanp=i3,tan(a+p)=tantan(a+p)=1—tanatanp''nn・・a+p=-，又a>4.

••P<44va.二、填空题7.函数用）=sin（2r—4）—^;'2sin2x的最小正周期是.解析：：％)=号2sin2x—乎cos2x—'2(1—cos2x)=¥sin2x+乎cos2x—b'2=sinl@+4)—V2•:2n/（兀）的最小正周期T=~2=n・答案：n8.已知cos4a—sin4a=2，且a^@2),则cos^2a+3)=解析：TaE仏2),cos4a—sin4a=(sin2a+cos2a)(cos2a—sin2a)=cos2a=|>0,A2a^^0,2),